Графы и отношения

Ориентированному графу можно дать другое определение (трактовку). Пусть задано множество вершин X и способ отображения множества X само на себя, то есть задано отношение Г на множестве X. Тогда ориентированный граф – это пара множеств (Х,Г), состоящая из множества и заданных на нем отношений.

Графы могут использоваться как геометрическое представление бинарных отношений, заданных на множестве.

О тношение порядка: х<у, если существует путь из х в у (говорят: х предшествует у).

Отношение не строгого порядка обладает следующими свойствами:

1) рефлексивность х≤х - истина (хотя иногда это трактуется как наличие

петли

2. транзитивность х≤у и y≤z →x≤ z , это означает, что x,y,z - последовательно встречается на одном и том же пути.

3. а нтисимметричность: х≤у и х≥у → х ≡ у

это может означать, что х и у одна и та же вершина или,

что имеется контур на котором лежат х и у.

Отношение эквивалентности: х ≡ у - если х и у лежат на одном и том же контуре: рефлексивность х ≡ х; симметричность, если х ≡ у → у ≡ х; транзитивность, если х ≡ у и y ≡ z →x≡z.

Отношение строгого порядка: х <у путь из х в у есть, но пути из у в х нет: х <х - ложно (хотя это условие может трактоваться как отсутствие петель); несимметричность х<у → у<х ложно (выполняется, если нет контуров); транзитивность х <у, у <z→х <z.

III. Характеристики неориентированных графов

Неориентированные графы – графы, состоящие из вершин и соединяющих их ребер. Ребро – ненаправленный отрезок, соединяющий две вершины.

Маршрут – такая последовательность ребер, в которой соседние ребра имеют общую вершину.

Цепь – маршрут, в котором 1 ребро встречается только 1 раз.

Простая цепь – цепь, в которой 1 вершина встречается только 1 раз.

Циклический маршрут, цикл, простой цикл – это соответственно маршрут, цепь, простая цепь, у которой начальная и конечная точки совпадают.

То есть ребро, цепь, цикл неориентированного графа аналогичны понятиям дуга, путь, контур ориентированного графа (маршрут совпадает для неориентированного и ориентированного графа).

Вместо введенных определений возможны и другие подходы.

веденные определения:	Допустимые определения:
маршрут	маршрут	цепь
цепь	маршрут	простая цепь
простая цепь	цепь	элементарная цепь
замкнутый маршрут	замкнутый маршрут	цикл
цикл	замкнутый маршрут	простой цикл
простой цикл	цикл	элементарный цикл

Две вершины называются смежными, если существует соединяющие их ребер. Ребро инцидентное вершине, если соединяет эту вершину с другой. Петля – ребро, соединяющее одну и ту же вершину (хотя в неориентированных графах используется редко). Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин называются кратными.

Кратные ребра _, петля .

Список ребер, матрицы смежности и инцидентности вводятся так же, как и для ориентированных графов, с той разницей, что не делается различий между заходящими в вершину и исходящими из нее отрезками.

Список ребер
Ребра:	Вершины
1	1,2
2	2,3
3	1,3
4	3,4

Матрица смежности i j 1 2 3 4 5 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 0 0 3 1 1 0 1 0 4 0 0 1 0 0 5 0 0 0 0 0 Матрица инцидентности i j 1 2 3 4 1 1 0 1 0 2 1 1 0 0 3 0 1 1 1 4 0 0 0 1 5 0 0 0 0

Понятие длины цепи вводится также как длина пути:

1) если ребра единичной длины, длина цепи равна сумме ребер,

2) если ребра произвольной длины, длина цепи равна сумме длин ребер.

В графе нет направлений, но после того как мы выбрали цепь, мы можем считать 1 вершину начальной и 1 вершину конечной и задать направление, то есть превратить цепь в путь. Точно также мы можем выбрать направление обхода цикла, тем самым, превратив его в контур.

Расстояние между вершинами x и y - длина кратчайшей простой цепи –d(x,y), то есть надо рассмотреть все возможные простые цепи между x и y и выбрать минимальную.

Условным радиусом относительно вершины х называется максимальное расстояние от вершины х до всех других вершин, то есть надо измерить расстояние до всех вершин, наибольшее расстояние будет условным радиусом.

Радиусом R графа G называется наименьший из условных радиусов, то есть надо вычислить условные радиусы относительно всех вершин, условный наименьший радиус будет радиус R графа G.

Диаметр D графа G - наибольшее расстояние между вершинами графа G, то есть надо измерить все расстояния между всеми точками, максимальное расстояние будет D, а соответствующая D цепь называется - диаметральная цепь, при этом R≤D≤2R

Пример:

(ребра единичной длины)

Точки (1,5), для которых условный радиус, совпадает с радиусом графа, называется - центр графа (центр может быть не единственный).

Степенью вершины (deg(x) или dx) называется число ребер инцидентных вершине. Пример

Теорема: пусть граф имеет n вершин и m ребер d_i - степень i^ой вершины, тогда

Каждое ребро добавляет по одной степени к каждой вершине, то есть по две степени к сумме степеней.

Следствие: в каждом графе число вершин нечетной степени четно.