Решение однокритериальных задач с параметром в целевой функции и в ограничениях.
Решить две однокритериальные задачи при следующих условиях.
Параметр в целевой функции
Данный этап выполняется с помощью программы. Изначально я ввожу свои ограничения и коэффициенты целевой функции, затем получаю необходимые мне таблицы.
Таблица№1 – Ввод данных
Таблица№2
таблица№3 - Интервалы
С этой таблицей я и буду работать, в ней мне необходимо пересчитать значения. Моя целевая функция имеет вид C(X) = 14X1+19X2+22X3 стремится к max. Добавив параметр, я получаю:
(14-Л)X1+(19+Л)X2+(22+2Л)X3, (Л – параметр лямбда).
Л максимальное = 14
Л минимальное = -11
Произвожу пересчет верхней и нижней границ моего интервала, подставив, вместо Х1, Х2, Х3 – 0, 22, 0, соответственно, поскольку X*(0,22,0). В итоге я получаю, что М=726, а –М=176.
Вывод: Если цена на первый товар колеблется в интервале [0;14], то вторая цена - [19;33], третья - [22;50], то целевая функция изменяется в этом же интервале. При изменении цен (первая уменьшится на единицу, вторая увеличится на единицу, а третья увеличится на 2 единицы), целевая функция увеличится на 22.
График
Таблица№4 – Данные для графика
Параметр в правой части ограничений
Задание: предприятие может использовать не более чем 3(x+y+z)+2ℷ единицы ресурса R1 и не более чем 4x+3y+4z-ℷ единицы ресурса R2, где ℷ - некоторый параметр. Для каждого возможного значения ℷ определить план производства изделий, при котором выручка от реализации является максимальной.
С(х) = 14Х1 + 19Х2 + 22Х3 max
3х1 + х2 + 3х3 ≤ 27+2t
2х1 + 3х2 + 4х3 ≤ 35-t
х1, х2, х3 ≥ 0
Выводы
В случае, если μ будет находиться в интервале –∞ ≤ μ ≤ –13,5, то задача не будет иметь решения.
Если μ будет находиться в интервале –13,5 ≤ μ ≤ -2,5, то выручка будет изменяться от 418 тыс. руб. до 0 тыс. руб., при этом запас ресурса R1 будет изменяться от 0 кг до 22 кг, а запас ресурса R2 будет изменяться от 37,5 кг до 48,5 кг.
Если μ будет находиться в интервале -2,5 ≤ μ ≤ 0, то выручка будет 418 тыс. руб., при этом запас ресурса R1 будет изменяться от 22 кг до 27 кг, а запас ресурса R2 будет изменяться от 37,5 кг до 35 кг
Если μ будет находиться в интервале 0 ≤ μ ≤ 13, то выручка будет 418 тыс. руб., при этом запас ресурса R1 будет изменяться от 27 кг до 53 кг, а запас ресурса R2 будет изменяться от 35 кг до 22 кг.
Если μ будет находиться в интервале 13 ≤ μ ≤ 35, то выручка будет изменяться от 418 тыс. руб. до 0 тыс. руб., при этом запас ресурса R1 будет изменяться от 53 кг до 97 кг, а запас ресурса R2 будет изменяться от 22 кг до 0 кг.
В случае если μ будет находиться в интервале 35 ≤ μ ≤ ∞, то задача не будет иметь решения.
Решение многокритериальной задачи
Задание 6.1. Решение многокритериальной задачи методом свертки критериев
Решение многокритериальной задачи осуществлялось относительно следующих целевых функций:
Выручка (тыс. руб.):
f1(x) = 14x1+19x2+22x3
Себестоимость (тыс. руб.):
f2(x) = 10x1 + 17x2 + 18x3 → min
Ограничения:
2х1 + х2 + 3х3 ≤ 27
2х1 + х2 + 4х3 ≤ 35
3х1 + 2х2 + 6х3 = 44
х1, х2, х3 ≥ 0
Нормирование функций не требуется, т.к. они имеют одинаковые единицы измерения тыс. руб.
Вводим новую функцию:
F(x) = (14x1+19x2+22x3)*a2 - (10x1 + 17x2 + 18x3 )*a1
С помощью Поиска решения получаем таблицу значений переменных и функций:
Задание 6.2. Решение многокритериальной задачи методом главного критерия
Решение многокритериальной задачи осуществлялось относительно следующих целевых функций:
Главный критерий – выручка (тыс. руб.):
f1(x) = 14x1 + 19x2 + 22x3 → max
Cебестоимость (тыс. руб.):
f2(x) = 10x1 + 17x2 + 18x3 → min
Критерий себестоимости был использован при решении задачи в качестве ограничения. Для этого с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» были определены максимальное и минимальное значение функции себестоимости:
f2(x)max = 374
f2(x)min = 132
Полученные значения позволяют определить правую часть ограничения, полученного при использовании функции себестоимости: d1 = 200.
При этом условие задачи выглядит следующим образом:
f1(x) = 14x1 + 19x2 + 22x3 → max
2
x1
+
x2
+ 3x3
≤ 27
2x1 + x2 + 4x3 ≤ 35
3x1 + 2x2 + 6x3 = 44
10x1 + 17x2 + 18x3 ≤ 200
x1, x2, x3 ≥ 0
При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х1* = (10; 5,27; 0,58),
f1 (Х1*) = 252,8, f2 (Х1*) = 200.
Возьмем d2 = 270, в этом случае условие задачи выглядит следующим образом:
f1(x) = 14x1 + 19x2 + 22x3 → max
2 x1 + x2 + 3x3 ≤ 27
2x1 + x2 + 4x3 ≤ 35
3x1 + 2x2 + 6x3 = 44
10x1 + 17x2 + 18x3 ≤ 101
x1, x2, x3 ≥ 0
При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х2* = (6,7; 11,9; 0),
f1 (Х2*) =320,7, f2 (Х2*) = 270.
Возьмем d3 = 370, в этом случае условие задачи выглядит следующим образом:
f1(x) = 14x1 + 19x2 + 22x3 → max
2 x1 + x2 + 3x3 ≤ 27
2x1 + x2 + 4x3 ≤ 35
3x1 + 2x2 + 6x3 = 44
10x1 + 17x2 + 18x3 ≤ 101
x1, x2, x3 ≥ 0
При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х3* = (0,26;21,6; 0),
f1 (Х3*) =414,26, f2 (Х3*) = 370.
Вывод: при увеличении предельной величины d функции f2 (х), т.е. себестоимости, значение функции f1(х), т.е. выручки, также увеличивается. При этом для получения максимальной выручки необходимо уменьшать объем производства изделия вида А, и увеличивать объем производства изделия вида В, изделие С при этом лучше вообще не производить.
Задание 6.3. Решение многокритериальной задачи методом последовательных уступок
Решение многокритериальной задачи осуществлялось относительно следующей целевой функции:
Выручка (тыс. руб.):
f1(x) = 14x1 + 19x2 + 22x3 → max
2
x1
+ x2
+ 3x3
≤ 27
2x1 + x2 + 4x3 ≤ 35
3x1 + 2x2 + 6x3 = 44
x1, x2, x3 ≥ 0
С помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х1* = (0; 22; 0), f1(Х1*) = 418.
После этого была решена однокритериальная задача на функцию себестоимости с добавлением дополнительного ограничения на предшествующий критерий – функцию выручки f1(x):
Cебестоимость (тыс. руб.):
f2(x) = 10x1 + 17x2 + 18x3 → min
2x1 + x2 + 3x3 ≤ 27
2x1 + x2 + 4x3 ≤ 35
3x1 + 2x2 + 6x3 = 44
14x1 + 19x2 + 22x3 ≥ 418
x1, x2, x3 ≥ 0
2
x1
+ x2
+ 3x3
≤ 27
2
x1
+ x2
+ 4x3
≤ 35
3x1 + 2x2 + 6x3 = 44
14x1 + 19x2 + 22x3 ≥ 14∙0+19∙22+22∙0
x1, x2, x3 ≥ 0
При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х1* = (0; 22; 0),
f2(Х1*) = 374.
Вычтем из последнего ограничения допустимую величину h, ухудшая значение первого критерия, т.е. выручки.
Пусть h1 = 68 (максимум выручки составит 350 тыс. руб.), тогда:
f2(x) = 10x1 + 17x2 + 18x3 → min
2 x1 + x2 + 3x3 ≤ 27
2x1 + x2 + 4x3 ≤ 35
3x1 + 2x2 + 4x3 = 44
14x1 + 19x2 + 22x3 ≥ 350
x1, x2, x3 ≥ 0
При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х1* = (4,69; 14,97; 0),
f2(Х1*) = 301,31.
При полученном оптимальном плане значение критерия себестоимости уменьшилось, также уменьшилось и значение критерия выручки.
Пусть h2 = 88 (максимум выручки составит 330 тыс. руб.), тогда:
f2(x) = 10x1 + 17x2 + 18x3 → min
2 x1 + x2 + 3x3 ≤ 27
2x1 + x2 + 4x3 ≤ 35
3x1 + 2x2 + 4x3 = 44
14x1 + 19x2 + 22x3 ≥ 330
x1, x2, x3 ≥ 0
При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х3* = (6,07; 12,9; 0),
f2(Х3*) = 279,9.
Пусть h3 = 108 (максимум выручки составит 310 тыс. руб.), тогда:
f2(x) = 6x1 + 10x2 + 12x3 → min
2 x1 + x2 + 3x3 ≤ 24
2x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 30
3x1 + 2x2 + 4x3 = 34
10x1 + 13x2 + 14x3 ≥ 120
x1, x2, x3 ≥ 0
При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х4* = (6,9; 11,6; 0),
f2(Х4*) = 267,1.
Вывод: при увеличении уступки для критерия выручки, значение критерия себестоимости уменьшается. При увеличении уступки объем выпуска изделий вида А увеличивается, а изделий вида В – снижается, изделия вида С не производятся.
Задание 6.4. Решение многокритериальной задачи модифицированным методом идеальной точки
Решение многокритериальной задачи осуществлялось относительно следующих критериев:
Выручка (тыс. руб.):
f1(x) = 14x1 + 19x2 + 22x3 → max
Cебестоимость (тыс. руб.):
f2(x) = 10x1 + 17x2 + 18x3 → min
С помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» были определены оптимальные значения указанных функций:
F1* = 418
F2* = 132
С(х) = x4 → min
2
x1
+ x2
+ 3x3
≤ 27
2x1 + x2 + 4x3 ≤ 35
3x1 + 2x2 + 6x3 = 44
-418 +14x1 + 19x2 + 22x3 ≤ x4
132 - 10x1 - 17x2 - 18x3 ≤ x4
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
2 x1 + x2 + 3x3 ≤ 24
2x1 + x2 + 4x3 ≤ 30
3x1 + 2x2 + 6x3 = 34
14x1 + 19x2 + 22x3 – x4 ≤ –418
-10x1 - 17x2 - 18x3 – x4 ≤ -132
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен следующий оптимальный план, при котором значение каждого критерия не может быть улучшено без ухудшения значения другого критерия: Х* = (0; 0; 7,33; 579,33), при этом f1(Х*) = 161,33, f2(Х*) = 132.
Задание 7. Сведение результатов МКЗ в таблицу
