Экономико-математическая модель.

Переменные:

х₁ – количество изделий вида А, шт.

х₂ – количество изделий вида В, шт.

х₃ – количество изделий вида С, шт.

Целевая функция:

1. Минимум себестоимости изготовления изделий, тыс. рублей

L(х) = 10х₁ + 17х₂ + 18х₃ → min

2. Максимум получения прибыли, тыс. рублей

C(х) = 4х₁ + 2х₂ + 4х₃ → max

3. Максимум получаемой выручки, тыс. рублей

M(х) = 14х₁ + 19х₂ + 22х₃ → max

Ограничения:

1. По ресурсу R1 2х₁ + х₂ + 3х₃ ≤ 27

2. По ресурсу R2 2х₁ + х₂ + 4х₃ ≤ 35

3. По ресурсу R3 3х₁ + 2х₂ + 6х₃ = 44

4. Не отрицательность переменных х₁, х₂, х₃ ≥ 0

5. Целочисленности х₁, х₂, х₃ – целые

Канонический вид.

L(х) = – 10х₁ – 17х₂ – 18х₃ → max

C(х) = 4х₁ + 2х₂ + 4х₃ → max

M(х) = 14х₁ + 19х₂ + 22х₃ → max

2х₁ + х₂ + 3х₃ + х₄ = 27

2х₁ + х₂ + 4х₃ х₅ = 35

3х₁ + 2х₂ + 6х₃ = 44

х₁, х₂, х₃ х₄ х₅ ≥ 0

х₁, х₂, х₃ – целые

Решение однокритериальной задачи симплекс – методом. Послеоптимизационный анализ. Целочисленное решение.

Задание: решить однокритериальную задачу ЛП с целевой функцией «выручка» симплекс-методом. Выполнить послеоптимизационный анализ. Целочисленное решение получить методом Гомори и методом ветвей и границ.

С(х) = 14Х1 + 19Х2 + 22Х3  max – выручка

Ограничения по запасам:

1. Х1+Х2+3Х3 <= 27

2. 2X1+3X2+4X3 <= 35

3. 3X1+2X2+4X3 = 44

Х1,Х2,Х3 >= 0

Решаем задачу при условии максимизации выручки симплекс методом

Приводим к каноническому виду:

С(х) = 14Х1 + 19Х2 + 22Х3  max

Ограничения по запасам:

1. Х1+Х2+3Х3 + Х4 = 27

2. 2X1+3X2+4X3 + Х5 = 35

3. 3X1+2X2+4X3 = 44

Х1, Х2, Х3, Х4, Х5 >= 0

Вводим искусственный базис.

1. Х1+Х2+3Х3 + Х4 = 27

2. 2X1+3X2+4X3 + Х5 = 35

3. 3X1+2X2+4X3 + Х6 = 44

Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6 >= 0

Вводим новую целевую функцию(с искусственным базисом).

С(х) = -Х6  max

			0	0	0	0	0	-1
			14	19	22	0	0	0
С	Базис	В	А1	А2	А3	А4	А5	А6
0	A4	27	2	1	3	1	0	0	9
0	A5	35	2	1	4	0	1	0	8,75
-1	A6	44	3	2	6	0	0	1	7,333333
	C(x)/j	-44	-3	-2	-6	0	0	0

			0	0	0	0	0	-1
			14	19	22	0	0	0
С	Базис	В	А1	А2	А3	А4	А5	А6
0	A4	5	0,5	0	0	1	0	-0,5
0	A5	5,666667	0	-0,33333	0	0	1	-0,66667
0	A3	7,333333	0,5	0,333333	1	0	0	0,166667
	C(x)/j	0	0	0	0	0	0	1

			14	19	22	0	0
С	Базис	В	А1	А2	А3	А4	А5
0	A4	5	0,5	0	0	1	0
0	A5	5,666667	0	-0,33333	0	0	1
22	A3	7,333333	0,5	0,333333	1	0	0
	C(x)/j	161,3333	-14	-19	0	0	0

			14	19	22	0	0
С	Базис	В	А1	А2	А3	А4	А5
0	A4	5	0,5	0	0	1	0
0	A5	13	0,5	0	1	0	1
19	A2	22	1,5	1	3	0	0
	C(x)/j	418	14,5	0	57	0	0

Ответ: С(х) = 418; Х^*=(0; 22; 0)

У задачи сразу нашлось целочисленное решение, поэтому применение метода Гомори и метода Ветвей и границ(которые нужны для получения целочисленного решения), к сожалению, не требуется.

Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки
			Результ.		Нормир.		Целевой		Допустимое		Допустимое
	Ячейка	Имя	значение		стоимость		Коэффициент		Увеличение		Уменьшение
	$N$2	х1	0		-14,5		14		14,5		1E+30
	$N$3	х2	22		0		19		1E+30		9,666666667
	$N$4	х3	0		-35		22		35		1E+30
Ограничения
			Результ.		Теневая		Ограничение		Допустимое		Допустимое
	Ячейка	Имя	значение		Цена		Правая часть		Увеличение		Уменьшение
	$M$5	R1	22		0		27		1E+30		5
	$M$6	R2	22		0		35		1E+30		13
	$M$7	R3	44		9,5		44		10		44

Для того, чтобы получить максимальную выручку от реализации произведенной продукции, равную 418 тыс. руб., нужно изготавливать 0 шт. изделия А, 22 шт. изделия В и 0 шт. изделия С.

Допустимое увеличение, допустимое уменьшение таблицы «изменяемые ячейки» – показывает границы изменений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение. Например, если стоимость изделия А увеличится(из-за каких-либо изменений на рынке) на 14,5 и более единиц, то изменится набор переменных, входящих в оптимальное решение. Уменьшаться цена этого изделия может до нуля, без изменения структуры плана. Цена изделия В может уменьшаться на 9,6667 ед. и неограниченно увеличиваться без изменения структуры плана. Цена на продукт С может изменяться в диапазоне от 0 до 35 без изменения структуры плана.

Результирующее значение таблицы ограничений - значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса. Например, ресурса R1 – 22 ед., ресурса R2 – 22, а ресурса R3 – 44.

Теневая цена – изменение целевой функции при изменении ресурса на 1 единицу. Теневая цена недефицитного ресурса будет равна 0. Например, изменения количества ресурса R1 или ресурса R2 не повлияет на значение целевой функции (= 0), а увеличение запаса ресурса R3 приведет к увеличению выручки на 9,5 единиц. Допустимое увеличение, допустимое уменьшение таблицы ограничений - показывает, насколько можно изменить правую часть ограничения до того момента пока это будет влиять на структуру целевой функции. Например, увеличение ресурсов R1 и R2 никак не повлияет на целевую функцию. Уменьшение же ресурса R1 более чем на 5 единиц или ресурса R2 более чем на 13 единиц приведет к изменению структуры плана. Ресурс R3 может изменяться в диапазоне от 10 до 44 единиц без изменения структуры плана.