Запишемо вираз для виходу за рис. 9.3, в.

,

(9.4)

де отримана шукана залежність, але в неявній формі.

Щоб знайти еквівалентну статичну характеристику необхідно виключити і з (9.4).

Нехай існує зворотна нелінійність , застосуємо це перетворення до лівої і правої частин виразу (9.4).

Одержимо:

,

тобто статичну характеристику, зворотну шуканій. Звідси випливає алгоритм графічного визначення шуканої статичної характеристики (у припущенні про її оборотність):

Алгоритм:

1. За статистичною характеристикою знаходимо статичну характеристику ;

2. Характеристики і підсумовуються ;

3. Визначається статична характеристика, зворотна сумі.

На рис. 9.7. показаний цей алгоритм.

25. Пример построения фазового портрета нелинейной сау.

Якщо розрахунковий вигляд нелінійних моделей (рис. 9.2.) містить нелінійний елемент із кусочно-постійною характеристикою , то процес може бути розбитий на ряд інтервалів так, що в межах кожного інтервалу рух описується лінійними диференціальними рівняннями. Праві частини диференціальних рівнянь кусочно-постійних систем для свого аналітичного представлення вимагають декількох виразів із умовами взаємного переходу. На фазовій площині кожній лінійній ділянці характеристики нелінійного елемента відповідає окрема область або лист, у межах якого праві частини диференціальних рівнянь лінійні, а фазові траєкторії складені з дуг траєкторій лінійних систем. Зламу або розриву кусочно-постійної характеристики при переході до нової лінійної ділянки відповідає границя листа фазової площини (лінія перемикання).

Розглянемо приклад аналітичної побудови фазового портрета автономної системи другого порядку з релейною характеристикою. Структурна схема нелінійної системи другого порядку має вигляд:

Для побудови фазового портрета запишемо диференціальні рівняння системи у формі Коші і виберемо наступні змінні стану: , причому: - вхід нелінійного елемента.

Диференціальне рівняння лінійної частини

(9.21)

з урахуванням , рівняння (9.21) запишеться так:

.

Звідси маємо шукану форму рівнянь:

(9.22)

або

, з урахуванням отримаємо:

.

(9.23)

Якщо врахувати, що на різних інтервалах функція постійна, у рівнянні (9.23) розділяються змінні.

.

Інтегрування дає:

.

(9.24)

Проінтегруємо ліву частину виразу (9.24):

(9.25)

Проінтегруємо праву частину виразу (9.24):

.

(9.26)

Остаточно отримаємо:

,

(9.27)

де - постійна інтегрування.

Для різних інтервалів отримаємо наступні рівняння для листів фазового портрета:

а)

;

б)

;

(9.28)

в)

.

Лініям відповідають границі листів. На рис 9.18 показаний фазовий портрет релейної системи із зоною нечутливості. Рухи завершуються на відрізку рівноваги .

Перехідний процес у системі може закінчитися в будь-якій точці відрізка .