3. Сопротивление проводников при сильном скин-эффекте

Конкретизируем приближенные граничные условия Леонтовича для хороших проводников, не являющихся ферромагнетиками. Комплексные проницаемости таких проводников

(16)

их волновой импеданс

(17)

Так как |ξ|<<1, то в самом глубоком приближении граничные условия (11) переходят для хороших проводников в граничные условия (3), соответствующие идеальному проводнику. Граничные условия Леонтовича дают гораздо лучшее приближение к свойствам реального проводника, так как они учитывают проникание поля в проводник и связанные с этим потери, что с помощью понятия идеального проводника непосредственно сделать не удается.

Действительно, для хороших проводников приближенные граничные условия позволяют правильно учесть влияние проводника в первом приближении относительно малого параметра ξ=1/n и, как видно из пункта 2, дают погрешность порядка 1/n².

Если на поверхности тела, имеющего параметры (16) и удовлетворяющие условию (7), имеют место приближенные граничные условия (9) или (11), то можно легко вычислить сопротивление проводника при скин-эффекте. Получаемые результаты справедливыми лишь в случае сильного скин-эффекта.

Выразим тангенциальное магнитное поле на поверхности проводящего тела через ток, текущий в его скин-слое. Если толщина скин-слоя равна нулю, то мы имеем поверхностный ток с плотностью i, текущий по геометрической поверхности и связанный с тангенциальным магнитным полем на ней соотношением (4). Если уже толщина скин-слоя d конечна , то ток не носит поверхностного характера, а распределен по объему. Однако при достаточно малом d можно ввести вектор l, который естественно назвать плотностью квазиповерхностного тока. Вектор l связан с обычной (объемной) плотностью тока j=σE соотношением

(18)

где интегрирование производится по нормали от поверхности тела до глубины Nd ( несколько d), ниже которой токами и полями можно пренебречь ( с погрешностью порядка е^-N ). Для вектора l справедливо соотношение

[nH] = (19)

Подставляя его в граничные условия (11), получаем

[nE] = (20)

Заметим, что соотношение (19) в продолжительность аналогичному соотношению (4) является приближенным и справедливо лишь при достаточно малом d– в той же степени, как и сами граничные условия (11). Кроме того, соотношение (19) справедливо лишь для хороших проводников, внутри которых можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости и, следовательно, считать комплексную диэлектрическую проницаемость ε чисто мнимой, как в формуле (16). Действительно, соотношение (19) можно вывести обычным способом из первого уравнения поля

где в силу (16)

Применяя это уравнение в интегральной форме

к контуру ABCDA, изображенному на рис 2, приходим к соотношению (19), если провести сторону CD на такой глубине Nd, что полем и током на этой глубине можно пренебречь. Интегралами по сторонам BC и DA пренебрегает на том основании, что толщина скин-слоя мала и нормальные составляющие поля внутри проводника также малы.

рис 2. к выводу соотношения (19)

Приближенное граничное условие (20), выведенное для хороших проводников, можно также записать в виде

(21)

так что тангенциальное электрическое поле на поверхности проводника и плотность квазиповерхностного тока, текущего по этому проводнику, пропорциональны друг другу. Коэффициент пропорциональности естественно назвать поверхность импедансом проводника. Поверхностный импеданс есть комплексная величина, которую с помощью формул (16) и (20) легко представить в виде

= (22)

где

или (при ) (23)

есть толщина скин-слоя, определяется формулой . Если имеются магнитные потери, так что проницаемость μ комплексна, то выражение для поверхностного импеданса усложняется и аргумент комплексного числа становится отличным от – π/4.

Поверхностный импеданс можно разложить, как и всякий импеданс, на вещественную и мнимую части, т.е.

= (24)

и назвать активным, а реактивным поверхностным сопротивлением. Заметим, что в теории цепей активное и реактивное сопротивления вводятся по формуле Z=R+iX, но там применяется зависимость от времени в виде е^iωt. Так как у нас взята временная зависимость е^-iωt, то для получения соотношений при зависимости е^iωt надо во всех наших формулах мнимую единицу iзаменить –i. Поэтому активное и реактивное сопротивление R и X вводяться по формуле Z=R-iX, причем для индуктивности X>>0, как обычно.

Из формулы (22) видно, что активное поверхностное сопротивление проводника при сильном скин-эффекте =1/σd, т.е. имеет тоже значение, какое на постоянном токе, (при отсутствии скин-эффекта, когда ток равномерно заполняет все поперечное сечение проводника) имеет пластинка толщиной d. Это соотношение с новой точки зрения обосновывает название «толщина скин-слоя» для d: товщина d показывает, какая часть проводника эффективно проводит переменный электрический ток, и определяет активное сопротивление проводника. Иначе говоря, толщина скин-слоя d показывает толщину поверхностного слоя, равномерно заполненного током и имеющего то же активное сопротивление. Что касается реактивного поверхностного сопротивления, то оно численно равно активному и положительно, т.е. поверхностный импеданс имеет индуктивный характер. Физически это объясняется тем, что полный поверхностный ток I_t отстает по фазе от тангенциальной составляющей поля E_t на поверхности проводника. Действительно, лишь плотность тока j на самой поверхности оказывается в силу соотношения j=σE в фазе с поверхностным электрическим полем; токе же в более глубоких слоях проводника отстают по фазе от поверхностного электрического поля из-за того, что в проводнике возбуждается волна, распространяющаяся нормально внутрь проводника.

С помощью теоремы о комплексной мощности можно выяснить энергетический смысл активного и реактивного поверхностных сопротивлений. Обозначая через мощность потерь в проводнике, а через - заключенную в нем магнитную энергию, приходим к формулам

(25)

показывающим, что активное поверхностное сопротивление определяет мощность потерь в проводнике, а реактивное поверхностное сопротивление - магнитную энергию, находящуюся в проводнике. Отметим еще раз, что ток, распределенный по глубине проводника по экспоненциальному закону (сплошная кривая на рис 3), выделяет то же тепло, что и ток той же величины, равномерно распределенный в слое толщины d (штриховая линия на рис 3).

рис 3. распределение тока по глубине

Полученные выше общее соотношение можно применить к вычислению погонного сопротивления цилиндрического провода радиуса а при сильном скин-эффекте, т.е. когда выполняется условие d<<a. Будем считать, что электрический ток течет вдоль провода, и обозначим через E_z продольную составляющую электрического поля на поверхности провода, а через J – полный ток, протекающий через поперечное сечение провода. По определению погонным внутренним импедансом провода (или внутренним импедансом на единицу длины) называется комплексный коэффициент пропорциональности Z_i в соотношении

(26)

При этом предполагается, что поля и токи распределены симметрично. Соотношение (26) является непосредственным следствием соотношения (21) и того обстоятельства, что при симметрии вращения полный ток Jи плотность квазиповерхностного тока I_z связанны между собой формулой

(27)

откуда и получаем как соотношение (26), так и выражение для погонного импеданса

(28)

Так как реактивное погонное сопротивление имеет индуктивный характер, то оно обозначено через ωL_i , где L_i– погонная внутренняя индуктивность провода. Погонные параметры провода R и L_i согласно формулам (26.10) имеют простой энергетический смысл

(29)

где и относятся к единицы длины провода.

Погонный импеданс провода Z_i является обобщением понятия погонного сопротивления, вводимого для постоянного тока как отношение падения напряжения на единицу длины провода к току в нем. При вычислении Z_i электрическое поле E_z, являющееся естественным обобщением падения напряжения на единицу длины провода, берется на поверхности провода. Основания для этого следующие: во-первых, именно это падение измеряется вольтметром, присоединенным к различным точкам проводника (по необходимости на его поверхности); во-вторых, только при определении импеданса его активная и реактивная части имеют четкий энергетический смысл.

Основные законы скин-эффекта мы получаем, рассматривая возбуждение электромагнитных волн в проводнике. Нужно при этом иметь в виду, что в окружающем пространстве волновые свойства переменного электромагнитного поля могут быть выражены слабо (например, если скин-эффект имеет место в цепи переменного тока), в то время как в проводниках, несущих переменные электрические токи, имеет место сильный скин-эффект и, следовательно, поле имеет резко выраженный волновой характер. Это выражается тем, что показатель преломления проводника весьма велик, вследствие чего волновые свойства поля проявляются в первую очередь внутри проводников. Например, при λ=100 м в меди d=0,04 мм и λ’=2π/К’=2πd=0,24 мм. Поэтому в проводе диаметром 1 мм волновые свойства поля выражено сильно, а в окружающем пространстве поле квазистатическим, т.е. в каждый момент таким же, как при постоянном токе.