2. Сильный скин-эффект. Граничные условия Леонтовича.

Перейдем к изучению электромагнитных волн в веществах с большим комплексным показателем преломления

n=n’+in’’ , n’’>>1 (7)

и с произвольным волновым импедансом ξ равным . Параметры n определен как ; ниже они будут употребляться вместо первоначальных параметров ε и μ.

В принципе неравенство (7) может выполняться из-за большой комплексной диэлектрической проницаемости ε или же большой комплексной магнитной проницаемости μ. Однако в большинстве случаев вещества, удовлетворяющие этому условию, являются хорошими проводниками и имеют конечную магнитную проницаемость. Для таких веществ волновой импеданс ξ является малой величиной.

При нормальном падении плоской волны на плоскую поверхность любого вещества внутри него возбуждается плоская волна

(8)

,

составляющие которой связаны между собой соотношением ( ). Поэтому на поверхности раздела составляющие электрического и магнитного полей удовлетворяют граничным условиям

(при z=0) (9)

где ось z направлена внутрь среды, имеющей волновой импеданс ξ.

Граничные условия (9) точно выполняются, если плоская волна падает на плоскость раздела нормально. Если же волна падает на плоскую поверхность наклонно, то эти граничные условия , как следует из тех же формул (8), справедливы приближенно – для веществ с большим комплексным показателем преломления (7).

Объясним физически, что происходит при накопленном падении плоской волны на поверхность тела с большим комплексным показателем преломления. Как известно, при падении волны на более плотную в оптическом отношении среду направление распространения прошедшей волны приближается к нормали. При большом показателе преломления второй среды волна в ней распространяется почти по нормали и глубина ее проникновения во вторую среду

(10)

так что при условии n’’>>1 получаем

Предположим теперь, что на ту же плоскую границу раздела падает не плоская, а, например, сферическая электромагнитная волна, имеющая радиус кривизны R. Эта волна может возбуждаться диполем , находящимся в первой среде на расстоянии R от рассматриваемой точки плоскости раздела. Отличие сферической волны от плоской заключается в том, что не только фаза, но и амплитуда электромагнитного поля изменится вдоль границы раздела, причем амплитуда претерпевает заметные изменения на расстояниях, сравнимыми с R. Однако если выполняется условие , то это изменение амплитуды не повлияет на структуру поля во второй среде : там по-прежнему будут возбуждаться волны, распространяющиеся по нормали от границы раздела . приближенные граничные условия (9) останутся без изменений.

Сказанное можно пояснить следующим образом . если расстояние между двумя точками А и В на плоскости раздела (рис 1) составляет малую часть R,то приближенно на всем участке АВ падающую сферическую волну можно считать плоской волной с постоянной амплитудой и постоянным углом падения . Если к тому же участок АВ велик по сравнению с d, то на нем поле проходит в нижнюю среду так же, как при падении плоской волны, и потому удовлетворяет условиям (9). линейные размеры участка АВ должны удовлетворять неравенствам d<<АВ<<R, при условии d<<R такой участок всегда можно выбрать.

рис 1. к обоснованию условия d<<R

Предположим теперь, что электромагнитные волны падают не на полубесконечное тело, а на пластину толщиной D, вещество которой обладает большим комплексным показателем преломления. Так как волны в пластинке, возбуждаемые вблизи одной ее граничной плоскости, могут отражаться от другой плоскости, то в общем случае характер поля в пластинке изменится и граничные условия (9) уже не будут иметь места. Однако если выполняется условие d<<D, то волна, идущая от одной границы раздела, не сможет практически дойти до другой границы, пластинка будет себя вести в электромагнитном отношении как бесконечно толстая, и на каждой ее границе будут выполняться приближенные граничные условия (9).

Рассмотрим теперь тело, поверхность которого имеет радиусы кривизны порядка a. Если для этого тела выполняется условие (7) и, кроме того, условие d<<a, то кривизна поверхности не должна влиять на структуру поля, проникшего на небольшую глубину dв это тело, и на его поверхности по-прежнему должна выполнять условия (9). Здесь через x, y, zобозначена местная декартовая система координат, плоскость x, y которой совпадает с касательной плоскостью к поверхности тела в данной точке, а ось z направлена по нормали внутрь тела.

Для тела, ограниченного неплоской поверхностью, граничные условия (9) целесообразно переписать в векторной форме. Если обозначим через n нормалью к поверхности тела, направленную внутрь тела, то условия (9) легко преобразовать к виду

[nE] = (11)

Условия (9) и (11) называются приближенными граничными условиями М. А. Леонтовича. Эти граничные условия применимы при выполнении неравенств

(12)

Так как явление концентрации электромагнитного поля вблизи поверхности тела называется обычно скин-эффектом , то можно сказать, что приближенные граничные условия Леонтовича имеют место при сильном скин-эффекте, когда толщина скин-слоя d мала по сравнению со всеми величинами, имеющими размерность длины и характеризующими рассматриваемую электродинамическую систему. В частности, толщина скин-слоя должна быть мала как по сравнению с радиусами кривизны его поверхности. Иначе говоря, при сильном скин-эффекте электромагнитное поле должно занимать лишь небольшую часть объема тела.

Выше рассматривалось тело с большим комплексным показателем преломления , окруженной пустотой. Если электромагнитные свойства окружающего пространства отличаются от свойств пустоты, то приближенные граничные условия Леонтовича, как легко показать, не изменяются, однако условия их применимости принимают несколько иной вид.

Значение приближенных граничных условий Леонтовича заключаются в том, что они позволяют не рассматривать поле внутри тела и учитывать наличие тела с помощью граничных условий на его поверхности. Такими же свойствами обладали граничными условия на поверхности идеального проводника, введенные выше в пункте 1.

Для оценки точности приближенных граничных условий применим их к падению плоской волны на плоскую границу раздела. Записывая поле в пустоте с помощью формулы (12) и (13) с неизвестными коэффициентами отражения R₁ и R₂, с помощью граничных условий (9) получаем

(13)

которые легко можно вывести из выражения

(14)

и

, (15)

если в последних величину заменить на n. Отсюда видно, что относительная погрешность, даваемая приближенными граничными условиями, имеет порядок 1/n² .

Граничные условия Леонтовича можно уточнить, если учесть структуру электромагнитного поля вблизи поверхности тела. Например , при рассмотрении лучей, отражающихся от поверхности поглощающего тела, можно связать между собой тангенциальные составляющие векторов Е и Н таким образом, чтобы получить точные коэффициенты отражения R₁ и R₂. В задачах распространения и дифракции электромагнитных волн поле часто как бы скользит вдоль граничной поверхности. Так бывает при распространении радиоволн на большое расстояние ( по сравнению с высотами передающей и приемной антенн ), а при дифракции – в области тени и полутени. В этих случаях следует сформулировать граничные условия, приводящие к коэффициентам R₁ и R₂ при =π/2.