11 Вариант
1. Найти
для функции
.
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
5. Найти
и y''xx
от функции, заданной параметрически:
6. Составить уравнение касательной,
проведенной из точки
к ветви гиперболы
7. Найти приближенное
значение
8.
Найти
.
9. Проверить справедливость теоремы
Ролля для функции
в интервале
.
Найти соответствующее значение.
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,39, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f (x)
=
12. Решеткой длиной 120м. нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки?
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
б)
14. Составить уравнения касательной
и нормали к астроиде
,
проведенных в точке
.
15. Дана функция z
=
.
Показать, что F =
16. Дана функция z = 4x2 + 3xy + y2 и две точки А (0; 2) и В (0,02; 1,96). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (0; 2; zA).
17. Дана функция z = 2x2+xy, точка А (-1; 2) и вектор (3; 4). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
12 Вариант
1. Найти
для функции
.
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
5. Найти
и y''xx
от функции, заданной параметрически:
6. Из точки
,
не лежащей на параболе
,
провести касательные к ней.
7. Найти приближенное
значение
8.
Найти
.
9. Функция
принимает на концах отрезка
равные значения. Справедлива ли для
этой функции теорема Ролля на отрезке
?
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,89, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f (x)
=
12. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
б)
.
14. Составить уравнения касательной
и нормали к циклоиде
,
проведенных в точке, для которой
15. Дана функция z
=
Показать, что F =
16. Дана функция z = x2 + 3xy + 2y2 и две точки А (1; 3) и В (1,03; 2,97). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (1; 3; zA).
17. Дана функция z = ln (x2 + xy2), точка А (-1; 2) и вектор (3; -4). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .