21 Вариант
1. Найти
для функции
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
5. Найти
от функции, заданной параметрически:
6. Составить уравнение касательной,
проведенной из точки A(0;-0,5)
к ветви гиперболы
.
7. Вычислить приближенно cos151°.
8.
Найти
.
9.
Проверить справедливость теоремы
Ролля для функции
в интервале
.
Найти соответствующее значение c.
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,47, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f(x)=x3-3x+3; [-1,5;1,5].
12.Определить стороны прямоугольника, вписанного в прямоугольную трапецию, имеющего наибольшую площадь, если АВ=6, СD=14, AD=10.
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
;
б)
14. Найти уравнение касательной и
нормали к циклоиде
в точке, где t =
.
15. Найти полную производную сложной функции:
16. Дана функция z = x2 + xy + y2 и две точки А (1; 2) и В (1,02; 1,96). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(1;2; zA).
17. Дана функция z
= 3x2 - xy
+ x + y,
точки А (1; 3) и А1(1,06;1,92).
Найти: 1) grad z
в точке A; 2) производную
в точке А по направлению вектора
.
22 Вариант
1. Найти
для функции
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
.
5. Найти
от функции, заданной параметрически:
6. Из точки А(-1;5), не лежащей на параболе
провести
касательные к ней.
7. Найти приближенное значение arctg 1,05.
8.
Найти
.
9.
Функция
принимает
на концах отрезка [-1;1] равные значения.
Справедлива ли для этой функции теорема
Ролля на отрезке [-1;1]?
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,31, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f(x)=x3+x2-8x; [-3;1].
12. Разбить число 8 на такие две части, чтобы сумма куба одной части и утроенной второй части была наименьшей. Чему равна эта сумма?
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
;
б)
.
14. Составить уравнение касательной и нормали к кривой x2+2xy2+4y4=6 в точке Р(1,-1).
15. Найти полную производную сложной функции:
16. Дана функция z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значениеz1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(x0;y0;z0).
z = x2 + 2xy + 3y2; A (2; 1); B (1,96; 1,04).
17. Дана функция u = f (x; y; z), точка А (x0; y0; z0) и вектор (а1; а2; a3). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
u = x2
+ u2 + z2;
A (1; 1; 1);
(2; 1; 3).