3 Вариант
1. Найти
для функции
.
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
.
5. Найти
и y''xx
от функции, заданной параметрически:
.
6. Составить уравнения касательных
к окружности
в точках ее пересечения с осью абсцисс.
7. Найти приближенное значение
.
8.
Найти
.
9. Проверить справедливость теоремы
Лагранжа для функции
на отрезке
Найти соответствующие значения
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,75, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции f (x)
=
на отрезке
.
12. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2в. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
б)
.
14. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t0:
15. Дана функция
.
Показать, что F =
.
16. Дана функция z = x2 + 3xy + 6y и две точки A (4; 1) и B (3,96; 1,03). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (4; 1; zА).
17. Дана функция z = ln (5x2 + 3y2), точка A (1; 1); и вектор (3; 2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
4 Вариант
1. Найти
для функции
.
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
.
5. Найти
и y''xx
от функции, заданной параметрически:
6. Найти угол наклона к оси
касательной, проведенной к
в точке
7. Найти приближенное значение
8.
Найти
.
9. Проверить справедливость теоремы
Ролля для функции
на отрезке
Найти соответствующие значения
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,63, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции f
(x) =
на отрезке
.
12. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
б)
.
14. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t0.
15. Дана функция z =
.
Показать, что F =
.
16. Дана функция z = x2 – y2 +6x + 3y и две точки А (2; 3) и В (2,02; 2,97). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(2;3; zА).
17. Дана функция z = ln (5x2 + 4y2), точка А (1; 1) и вектор (2; -1). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .