29 Вариант
1. Найти
для функции
.
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти от функции
5. Найти и y''xx от функции, заданной параметрически:
6. На синусоиде
,
найти точки, в которых касательная
параллельна прямой
7. Найти приближенное
значение
8. Найти .
9. Показать, что теорема Лагранжа не
применима к функции
на отрезке
.
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,14, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f(x)=1/6x3-2x; [-3;4].
12. К гальваническому источнику тока с электродвижущей силой в 4 в и внутренним сопротивлением 1 ом подключено сопротивление R. При каком значении R можно получить наибольшую мощность во внешней цепи? Определить наибольшую мощность тока во внешней цепи.
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
.
14. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t0.
15. Найти частные производные сложной функции:
16. Дана функция z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(x0;y0;z0).
z = 6x2 - 2xy +2x + 2y; A (2; 6); B (2,06; 5,92).
17. Дана функция u = f (x; y; z), точки А (x0; y0; z0) и А1(х1; y1; z1). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
u =xy2z3; A (3; 2; 1); А1 (5; 4; 2).
30 Вариант
1. Найти
для функции
.
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти от функции
5. Найти и y''xx от функции, заданной параметрически:
6. Написать уравнение касательной к кривой , в точках пересечения с осями и
7. Найти приближенное
значение
8. Найти .
9. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке . Найти соответствующие значения
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,57, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f(x)=-1/3x3+2,5x2-4x+1/3; [-1;5].
12. Из равнобедренного треугольника АВС, боковые стороны которого АС=ВС=10 см и основание АВ=12 см, требуется вырезать параллелограмм с наибольшей площадью так, чтобы один из его углов совпадал с углом треугольника при основании. Найти стороны искомого параллелограмма и его площадь.
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
.
14. Составить уравнения касательной
и нормали к астроиде
,
проведенных в точке
.
15. Найти полную производную сложной функции:
16. Дана функция z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(x0;y0;z0).
z = x2 + 3xy + 6y; A (4; 1); B (3,96; 1,03).
17. Найти производную функции z =ln(x2+y2) в точке А (3; 4) в направлении градиента функции z.