19 Вариант
1. Найти
для функции
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
5. Найти
и y''xx
от функции, заданной параметрически:
6. На синусоиде
найти точки, в которых касательная
параллельна прямой
7. Найти приближенное значение
8.
Найти
.
9. Показать, что теорема Лагранжа не
применима к функции
на отрезке
.
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,51, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=(1/6)x3-2x на отрезке [-3; 4].
12. Канал, ширина которого 27м., под прямым углом впадает в другой канал шириной 64м. Какова наибольшая длина бревен, которые можно сплавлять по этой системе каналов?
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
б)
14. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости кривой
в точке
15. Дана функция z
=
.
Показать, что: F =
16. Дана функция z = 4xy + 6y2 – 10x и две точки А (2; 4) и В (1,97; 4,03). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (2; 4; zA).
17. Дана функция z
= arctg
,
точка А (-1; 1) и вектор
(1; -1). Найти: 1) grad z
в точке A; 2) производную
в точке А по направлению вектора
.
20 Вариант
1. Найти для функции
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
5. Найти
и y''xx
от функции, заданной параметрически:
6. Написать уравнение касательной
к кривой
,
в точках пересечения с осями
и
7. Найти приближенное
значение
8.
Найти
.
9.
Проверить справедливость теоремы
Лагранжа для функции
на отрезке
.
Найти соответствующие значения
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,81, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f (x)
=
12. По двум улицам движутся к перекрестку две автомашины с постоянными скоростями u1 и u2 . Считая, что улицы пересекаются под прямым углом, и зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстояниях a1 и а2 , определить, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
б)
14. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости кривой
в точке
15. Дана функция z
=
.
Показать, что F =
16. Дана функция z = 6x2 - 2xy +2x + 2y и две точки А (2; 6) и В (2,06; 5,92). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значениеz1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (2; 6; zA).
17. Дана функция z = 6x2у2 +10xy2, точка А (2; 2) и вектор (4; 2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .