3 Вариант

1. Найти для функции .

2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:

3. Найти от функций, заданных неявно:

4. Найти от функции .

5. Найти и y''_xx от функции, заданной параметрически: .

6. Составить уравнения касательных к окружности в точках ее пересечения с осью абсцисс.

7. Найти приближенное значение .

8. Найти .

9. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке Найти соответствующие значения

10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,75, с точностью до 0,001.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = на отрезке .

12. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2в. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:

а) б) .

14. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀:

15. Дана функция . Показать, что F = .

16. Дана функция z = x² + 3xy + 6y и две точки A (4; 1) и B (3,96; 1,03). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С (4; 1; z_А).

17. Дана функция z = ln (5x² + 3y²), точка A (1; 1); и вектор (3; 2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

4 Вариант

1. Найти для функции .

2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:

3. Найти от функций, заданных неявно:

4. Найти от функции .

5. Найти и y''_xx от функции, заданной параметрически:

6. Найти угол наклона к оси касательной, проведенной к в точке

7. Найти приближенное значение

8. Найти .

9. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на отрезке Найти соответствующие значения

10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,63, с точностью до 0,001.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = на отрезке .

12. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:

а) б) .

14. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

15. Дана функция z = . Показать, что F = .

16. Дана функция z = x² – y² +6x + 3y и две точки А (2; 3) и В (2,02; 2,97). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(2;3; z_А).

17. Дана функция z = ln (5x² + 4y²), точка А (1; 1) и вектор (2; -1). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .