1 Вариант
1. Найти
для функции
.
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти
от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
.
5. Найти
и y''xx
от функции, заданной параметрически:
.
6. Написать уравнение касательной
к кривой
в точках x = 2; x
= 1.
7. Найти приближенное значение
.
8.
.
Найти
.
9. Проверить справедливость теоремы
Лагранжа для функции
на отрезке
.
Найти соответствующие значения
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,49, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x3-12x+7 на отрезке [0;3].
12. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
б)
14. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t0.
15. Дана функция
.
Показать, что F
=
16. Дана функция z
= x2 + xy
+ y 2 и
две точки A (1; 2) и B
(1,02; 1,96). Требуется: 1) вычислить значение
z1 в точке
В; 2) вычислить приближенное значение
функции в точке В, исходя из значения
z0 функции
в точке А и заменив приращение
функции при переходе от точке А к
точке В дифференциалом; 3) оценить
в процентах относительную погрешность,
поучающуюся при замене приращения
функции ее дифференциалом; 4) составить
уравнение касательной плоскости к
поверхности z = F
(x; y)
в точке С(1;2;zА).
17. Дана функция z
= x2 + xy
+ y2, точка
А (1; 1) и вектор
(2; -1). Найти: 1) grad z
в точке A; 2) производную
в точке А по направлению вектора
.
2 Вариант
1. Найти
для функции
.
2. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти от функций, заданных неявно:
|
|
4. Найти
от функции
.
5. Найти
и y''xx
от функции, заданной параметрически:
.
6. Написать уравнение касательной
и нормали к кривой
в точке с абсциссой
.
7. Найти приближенное значение
.
8.
Найти
.
9. Проверить справедливость теоремы
Ролля для функции
на отрезке
Найти соответствующие значения
10. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,33, с точностью до 0,001.
11. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции
на
отрезке [0; 2].
12. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?
13. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и, используя результаты исследования, построить график:
а)
б)
.
14. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t0.
15. Дана функция
.
Показать, что
.
16. Дана функция z = 3x2 - xy + x + y и две точки А (1; 3) и В (1,06; 1,92). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке С(1;3;zА).
17. Дана функция z = 2x2 + 3xy + y2, точка А (2; 1) и вектор (3; -4). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .