3.2. Определение эффективных коэффициентов линейного температурного расширения

3.2.1. Эффективные определяющие соотношения в термомехани­ке композитов. Рассмотрим однонаправленный волокнистый ком­позит с двоякопериодической структурой. Для определения тензора эффективных коэффициентов линейного температурного рас­ширения нужно решить несвязанную квазистатическую задачу термоупругости гетерогенной анизотропной среды. Эффективные определяющие соотношения (1.1.13) для макроскопически ортотропной гетерогенной среды напишем в следующем виде:

(3.2.1)

;

;

;

3.2.2. Эффективные коэффициенты линейного температурного расширения. Кинематико-статические граничные условия. Для определения эффективных коэффициентов линейного температурного расширения решим задачу термоупругости для ячейки периодичности. Как и при определении эффектив­ных упругих характеристик, только кинематико-статические граничные условия обеспечивают кинематическую и статическую совместность ячеек периодичности, находящихся в однородном температурном поле. Зададим кинематико-статические гранич­ные условия, принимая во внимание симметрию ячейки перио­дичности:

;

(3.2.3)

Равномерно нагреем ячейку периодичности: . Вычислим средний тензор микродеформаций и средний тензор микронапряжений :

;

(3.2.4)

Из соотношений (3.2.2) получаем:

(3.2.5)

– эффективные коэффициенты линейного температурного расширения выражаются через эффективные модули Юнга и коэффициенты Пуассона.

3.3. Определение эффективных коэффициентов теплопроводности

3.3.1. Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности. Граничные условия. Определение стационарного температурного поля в гетерогенной анизотропной среде заключается в решении дифференциального уравнения:

, (3.3.1)

где T – температура тела; K – тензор коэффициентов теплопроводности; q_V – плотность внутренних источников тепла. К дифференциальному уравнению (3.3.1), определяющему тем­пературу тела в точках его объема V, добавляются условия на ограничивающей его поверхности S:

– граничное условие первого рода (условие Дирихле)

(3.3.2)

– заданная на границе температура;

– граничное условие второго рода (условие Неймана)

(3.3.3)

n – единичный вектор внешней нормали к поверхности S; – заданная на границе плотность теплового потока;

– граничное условие третьего рода:

(3.3.4)

– коэффициент теплоотдачи (теплообмена); – температура окружающей среды. Отметим, что наиболее часто встречающимся на практике типом граничных условий являются смешанные граничные условия.

Для гетерогенной среды на границе раздела различных компонентов имеют место условия сопряжения, характеризу­ющие идеальный тепловой контакт:

(3.3.5)

– где индексом (i) помечены величины, относящиеся к одной фазе, а индексом (j) – к другой.

3.3.2. Определяющие соотношения. Определяющие соотношения в задачах теплопроводности гетерогенной анизотропной среды записываются в следующем виде (закон теплопроводности Фурье)

(3.3.6)

где q – вектор плотности теплового потока. Тензор коэффициентов теплопроводности K для ортотропных компонентов имеет вид:

(3.3.7)

Соотношения, определяющие соответствие между средними по объему представительного элемента гетерогенной среды вектором плотности теплового потока и градиентом температуры называются эффективными определяющими соотношениями и имеют вид:

, (3.3.8)

где – тензор эффективных коэффициентов теплопроводности, который для макроскопически ортотропной гетерогенной среды имеет вид:

(3.3.9)

3.3.3. Эффективные коэффициенты теплопроводности. Тензор эффективных коэффициентов теплопроводности определяется через равенство тепловых потоков в гетерогенной среде и в эквивалентной анизотропной гомогенной среде:

(3.3.10)

Рассмотрим однонаправленный волокнистый композит с двоякопериодической структурой, компоненты которого нахо­дятся в идеальном тепловом контакте. Эффективный коэффициент теплопроводности в направлении волокон с высокой степенью точности определяется правилом смесей [32–35]:

, (3.3.11)

где n_c – число компонентов композиционного материала; – объемная концентрация i-го компонента; – коэффициент теплопроводности i-го компонента.

Для определения эффективных коэффициентов теплопроводности нужно решить две задачи о двумерном стационарном распределении температуры в ячейке периодичности. Принимая во внимание симметрию ячейки периодичности, зададим смешанные граничные условия, обеспечи­вающие “полную тепловую совместность” отдельных ячеек периодичности:

Задача (1) – определение коэффициента :

;

(3.3.12)

Вычислим средний по объему градиент температуры :

(3.3.13)

Используя соотношения (3.3.10), (3.3.13), получим:

(3.3.14)

Задача (2) – определение коэффициента :

;

(3.3.15)

Эффективный коэффициент теплопроводности:

(3.3.16)