1. Некоторые сведения из механики композиционных материалов

1.1. Основные соотношения теории упругости гетерогенной анизотропной среды [1, 2, 3]

1.1.1. Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные ус­ловия. Квазистатическая задача теории упругости в перемеще­ниях для гетерогенной анизотропной среды заключается в решении трех дифференциальных уравнений равновесия относительно компонентов вектора перемещения:

, (1.1.1)

где r – вектор-радиус рассматриваемой точки; u – вектор перемещения; Ñ – набла-оператор Гамильтона; – тензор модулей упругости, тензор 4-го ранга; – вектор объемных сил; символ “٠” обозначает операцию свертки.

К системе уравнений (1.1.1), определяющих поведение тела в точках его объема V, добавляются условия на ограничивающей его поверхности S – кинематические, статические или смешанные граничные условия:

(1.1.2)

(1.1.3)

, (1.1.4)

где – заданный на границе вектор перемещения; – заданная на границе поверх­ностная нагрузка; n – единичный вектор внешней нормали к поверхности тела; в случае (1.1.4) поверхность S состоит из двух частей S₁, S₂.

Возможны также и комбинированные граничные условия, ког­да из трех равенств, которые должны быть заданы в каждой точке поверхности S, одно (два) формулируется в переме­щениях, а два (одно) – в силах. Граничные условия такого рода будем называть кинематико-статическими.

1.1.2. Определяющие соотношения. В случае малых деформаций тензор деформации e выражается через вектор перемещения u соотношениями Коши:

(1.1.5)

где (¼)^T – операция транспонирования; (¼)^S – операция симметрирования.

Определяющие соотношения для линейной гетерогенной анизотропной упругой среды записываются в следующем виде (обобщенный закон Гука):

, (1.1.6)

где – тензор напряжений, ; – тензор упругих податливостей, тензор 4-го ранга, причем тензоры и взаимообратны.

Для композиционных материалов тензор упругих модулей и тензор упругих податливостей являются разрыв­ными функциями координат. Для i-ой фазы композита в случае анизотропии общего вида тензор ( ) содержит 21 незави­симый компонент, для ортотропного тела тензор ( ) имеет 9 независимых компонентов, для трансверсально-изотропного тела – 5, для изотропного тела – 2 независимых компонента (например, постоянные Ламе).

В прямолинейной ортогональной системе координат 0Х₁X₂X₃ рассмотрим ортотропное тело. Уравнения обобщенного закона Гука запишем в следующей форме:

(1.1.7)

В уравнениях (1.1.7) введены в рассмотрение “технические константы” упругости: Е₁, E₂, Е₃ – модули Юнга при растяжении-сжатии в направлении ортогональных осей 1,2,3; G₁₂, G₂₃ , G₃₁ – модули сдвига дня плоскостей, параллельных координатным; – коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение в направлении од­ной оси при растяжении в направлении другой (например, – коэффициент, характе­ризующий сокращение в направлении оси 2 при растяжении в направлении оси 1). Модули Юнга и коэффициенты Пуассона связаны равенствами:

(1.1.8)

Определяющие соотношения можно записать и так:

(1.1.9)

(1.1.10)

В несвязанных квазистатических задачах термоупругости определяющие соотношения имеют вид:

(1.1.11)

(1.1.12)

, (1.1.13)

где F – термодинамическая функция состояния, называемая свободной энергией; a – тензор коэффициентов линейного температурного расширения, тензор 2-го ранга; – перепад температуры; T₀ , T – температура недеформированного и деформированного состояния.

Определяющие соотношения (1.1.11) называются соотношениями Дюамеля – Неймана.