12. Основні булеві функції однієї і двох зміних. Унарна і бінарні операції булевої алгебри. Суперпозиція булевих функцій. Три аксіоми булевої алгебри. Алгебра Жегалкіна. Теореми де Моргана.
Розглянемо найбільш використовувані булеви ф-ції однієї і двох змінних. Ф-ції однієї змінної представлені таблиці 5, де
f0(x) =0 – тотожній нуль (константа 0);
f1(x) =x – тотожна ф-ція;
f2(x) = - заперечення x (інверсія);
f3(x) =1 – тотожна одиниця (константа 1).
Ф-ції двох змінних представлені в табл.6.
Найбільш часто використовуються такі:
f0(x1,x2)=0 - тотожній нуль (константа 0);
f1(x1,x2)=x1*x2 – кон’юнкція. Замість знака “*” інколи використовують знак & або . Цю ф-цію часто називають логічним перетворенням або логічним множенням;
f3(x1,x2)=x1- повторення х1;
f5(x1,x2)=x2- повторення х2;
f6(x1,x2)=x1 х2 –додавання по модулю, або сума mod 2;
f7(x1,x2)=x1 x2-диз’юнкція (логічне або);
f
56
f9(x1,x2)=x1~х2 - еквівалентність;
f13(x1,x2)=x1 х2 – імплікація;
f14(x1,x2)=x1/x2- штрих Шеффера;
f15(x1,x2)=1- тотожна одиниця (константа 1);
Розглянуті простіші булеві ф-ції дозволяють будувати нові булеви ф-ції з допомогою узагальненої операції, що називається операцією суперпозиції. Фактично операція суперпозиції заключається в тому, що існує підстановка замість аргументів інших булевих функцій (в деякій мірі аргументів).
Зауважимо, що суперпозиція функцій одного аргументу породжує функції одного аргументу. Суперпозиція ф-цій двох аргументів дає можливість будувати функції будь-якої кількості аргументів.
Суперпозиція булевих ф-цій представляється у виді логічних формул. Однак слід відмітити :
одна і та ж функція може бути представлена різними формулами;
кожній формулі відповідає своя суперпозиція і своя своя схема з’єднання елементів;
між формулами представлення булевих ф-цій і схемами, які їх реалізують, існує взаємнооднозначна відповідність.
Очевидно, що серед схем, які реалізують дану функцію є найбільш проста. Пошук логічної формули, що відповідає цій схемі, предствляє великий практичний інтерес, а перетворення формул булевих функцій грунтується на використанні співвідношень булевої алгебри.
Для булевої алгебри визначена одна одномісна (унарна) операція, дві двохмісні (бінарні) операції кон’юнкції і диз’юнкції (позначаються відповідно “*”, “ ”).
В цій алгебрі справедливі три аксіоми:
закон комутативності - x y=y x, x*y=y*x;
57
закон дистрибутивності – x*(y z)= x*y x*z, x y*z=(x y)*(x z);
Перетворення формул булевих функцій використанням тільки аксіом булевої алгебри малоефективне. Для спрощення формул використовують цілий ряд співвідношень. Приведемо деякі з них.
=
*
,
*
=
(Теореми де Моргана)
(1)
x x*y=x, x*(x y)=x; (2)
x x=x, x*x=x, =x; (3)
x y =x y; (4)
x =1, x* =0; (5)
x 1=1; x*0=0; (6)
xy x =x , (x y)(x )=x; (7)
В ряді випадків, перетворення над формулами булевих функцій зручно виконувати в алгебрі Жегалкіна.
Алгебра Жегалкіна включає дві двохмісні операції: кон’юнкцію і додавання за модулем 2 (*, ), а також константу 1. Тут мають місце ті ж закони:
x y=y x, x*y=y*x
x (y z)=(x y) z, x*(y*z)=(x*y)*z
x*(y z)=x*y x*z
Для спрощення формул можуть бути використані такі співвідношення :
x 0=x; x*1=x; x*0=0; x x=0; x*x=x.
Із комутативності і асоціативності слідує, що диз’юнкція кількох змінних може виконуватися послідовно, причому порядок взяття дизьюнкції не впливає на результат. Тобто, диз’юнкція сукупності змінних може бути виражена співвідношенням
x1
x2
…
xn=
xi
58
x1*x2*…*xn=
xi
і суми по модулю 2
x1
x2
…
xn=
Теореми де Моргана для кількох змінних мають вигляд:
=
=
13. Аналітичне представлення булевих функцій. Досконала диз’юнктивна нормальна форма(ЗДНФ). Досконала кон’юнктивна нормальна форма(ЗКНФ). Конституєнта нуля. Конституєнта одиниці. Розклад Шеннона.
АНАЛІТИЧНЕ ПРЕДСТАВЛЕННЯ БУЛЕВИХ ФУНКЦІЙ
Вище згадувалося про існування аналітичних форм представлення булевих ф-цій. Тут розглянемо універсальні (канонічні) форми представлення, які дають можливість отримати аналітичну форму безпосередньо по таблиці істиності для довільної булевої ф-ції. Ця форма в дальшому може бути спрощена. Найбільш широке поширення отримала досконала нормальна форма (ДНФ). Перед тим як перейти до вивчення, приведемо визначення конституєнти одиниці - поняття, яким будемо широко користуватися дальше.
Визначення : Конституєнтою одиниці називається функція f(x1, x2, …, xn), яка приймає значення 1 тільки на одному наборі.
Якщо згадати, що диз’юнкція рівна 1, коли хоча б одна з змінних приймає значення 1, то можна легко виразити , будь-яку булеву функцію як диз’юнкцію конституєнт одиниці, які відповідають тим наборам, на яких функція рівна 1. В більш загальному вигляді це можна записати таким чином:
f(x1,
x2, …, xn)=
f(σ1,
σ2, …, σn)*
x1 σ1,
x2 σ2,
…, xn
σn,
де σi = 0,1 і
xi
σi =
Ця форма і є досконала диз’юнктивна форма (ДДНФ). Замітимо, що набори, де функція f приймає значення 1, часто називають одиничними, всі решта – нульовими наборами. Виписувати в ДДНФ є зміст тільки конституєнти одиниці, відповідні одиничним наборам.
Приклад : Випишемо ДДНФ для ф-цій, заданих таблицею істиності (табл.1).
Таблиця 1
-
x1 x2 x3
f1
f2
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Ф-ція f1 нам відома як сума за модулем 2 трьох змінних х1 х2 х3. Ф-ція f2 називається мажорантною (вона приймає значення, яке приймає більшість змінних ) і позначається знаком М(х1, х2, х3)
Друга відома форма носить назву “досконалої кон’юктивної нормальної форми” (ДКНФ). Вона будується аналогічно ДДНФ.
Визначення : Конституєнтою нуля називається функція, яка приймає значення 0 на єдиному наборі.
Конституєнта нуля записується у вигляді елементарної диз’юнкції всіх змінних. Кожному набору відповідає своя конституєнта 0.
Приклад Для розглянутих вище ф-цій х1 х2 х3 і М(х1, х2, х3) (табл. 7) побудуємо ДКНФ:
;
.
Легко побачити, що в ДДНФ можна замінити операцію диз’юнкції операцією суми за модулем 2, причому рівність збережеться. Ця форма називається “досконалою поліноміальною нормальною формою” (ДПНФ). Для нашого прикладу
60
Якщо в ДПНФ замінити всі змінні з запереченням у відповідності з співвідношенням =1 х, то отримається канонічний поліном Жегалкіна вигляду
f(x1, x2, …, xn)=a0 a1x1 a2x2 … anxn a12x1x2 a13x13 … a12…nx1x2…xn,
де аi {0,1}.
Приклад : Для тих же функцій f1 і f2 знайдемо канонічний поліном Жегалкіна :
f1=(x1 1)(x2 1)x3 (x1 1)x2(x3 1) x1(x2 1)(x3 1) x1x2x3= x1x2x3 x3 x1x3 x2x3 x1x2x3 x1x2 x2x3 x1x2x3 x1x2 x2x3 x2 x1x2x3 x1x2 x1x3 x1 x1x2x3=x1 x2 x3
Аналогічно для f2= x1x2 x2x3 x1x3.
В булевій алгебрі широко використовується розклад Шеннона– формула, яка дозволяє перейти від представлення функції від n-змінних до представлення функції від (n-1) – змінних :
f(x1,
x2, …, xn)=x1f(1,
x2, …, xn)
f(0,
x2, …, xn)
Співвідношення легко узагальнюється для будь-якої кількості змінних, якщо функції правої частини піддати такому ж розкладу по інших змінних. Наприклад :
f(x1,
x2, …, xn)=x1[x2f(1,1,
x3, …, xn)
f(1,0,
x3, …, xn)]
[x2f(0,1,
x3…xn)
f(0,0,x3,…xn)]=x1,x2f(1,1,x3,…xn)
x1
f(1,0,x3,…,xn)
x2f(0,1,x3,..,xn)
f(0,0,x3,…,xn)
Відмітимо, що якщо провести такий же розклад по всіх змінних, получиться ДДНФ.
14. Мінімізація булевих функцій. Постановка задачі мінімізації булевих функцій. Елементарна кон’юнкція. Диз’юнктивна нормальна форма (ДНФ). Мінімальна диз’юнктивна нормальна форма (МДНФ). Два етапи мінімізації булевих функцій.
МІНІМІЗАЦІЯ БУЛЕВИХ ФУНКЦІЙ
При проектуванні цифрових машин широко використовуються методи мінімізації булевих функцій, які дозволяють отримати рекомендації для побудови економічних схем цифрових машин. Загальна задача мінімізації булевих функцій формулюється так: знайти аналітичне вираження булевої функції в формі, що містить мінімально можливе число букв. Слід відмітити, що в загальній постановці дана задача поки що не розв’язана, але достатньо добре досліджена в класі диз’юнктивно-кон’юктивних нормаьних форм.
61
Визначення: Диз’юнктивною нормальною формою (ДНФ) називається диз’юнкція елементарних кон’юнкцій.
Визначення: Мінімальною диз’юнктивною нормальною формою булевої функції називається ДНФ, що містить найменше число букв.
Визначення: Булева функція g(x1,x2,…,xn) називається імплікантою булевої функції f(x1,…,xn), якщо для будь-якого набору змінних, на якому g=1, справедливе f=1.
Визначення: Імпліканта g булевої ф-ції f, що є елементарною кон’юнкцією, називається простою, якщо ніяка частина імпліканти g не є імплікантою функції f.
Приведемо без доведень два твердження, корисні при отриманні мінімальної ДНФ.
Дизьюнкція будь-якої кількості імплікант булевої ф-ції f також є імплікантою цієї функції.
Будь-яка булева функція f еквівалентна диз’юнкції всіх своїх простих імплікант. Така форма представлення булевої ф-ції називається скороченою ДНФ.
Отримання скорочених ДНФ є першим етапом відшукання мінімальних форм булевих функцій. В скорочену ДНФ входять всі прості імпліканти булевої функції. Іноді з скороченої ДНФ можна забрати одну, або декілька простих імплікант, не порушуючи еквівалентності початкової функції. Такі прості імпліканти називаються лишніми. Виключення лишніх простих імплікант з скорочених ДНФ – другий етап мінімізації.
Визначення: Скорочена ДНФ булевої ф-ції називається тупіковою, якщо в ній відсутні лишні прості імпліканти.
Виключення лишніх простих імплікант в скорочених ДНФ булевої функції не є однозначним поцесом, тобто булева функція може мати декілька тупікових ДНФ.
Твердження. Тупікові ДНФ булевої функції f , що містять мінімальну кількість букв, являються мінімальними. Мінімальних ДНФ також може бути декілька.
Розглянемо декілька методів мінімізації. Всі вони практично відрізняються тільки на першому етапі – етапі отримання скорочених ДНФ. Слід відмітити, що, на жаль, пошук мінімальної ДНФ завжди зв’язаний з деяким перебором рішень. Існують методи зменшення цього перебору, проте він завжди залишається.