Влияние параметров нелинейного элемента и линейной части на амплитуду и частоту автоколебаний
Частота периодических колебаний не зависит от К (не зависит от Кi и Ко) и от параметров нелинейности. На частоту периодических колебаний оказывает влияние только параметры линейной части.
Параметры нелинейного элемента b и C влияют только на амплитуду колебаний в системе. При увеличении b амплитуда колебаний уменьшается, при увеличении С амплитуда колебаний увеличивается.
Найдем значения bгр, Kгр и Сгр, при которых нет периодического режима.
Из частотного метода имеем: Zmin = 0,785.
Найдем Кгр:
Т.о. при К< Кгр в системе с запаздыванием нет периодического режима (нет точки пересечения графиков –Zнэ(A) и Wл(jω)).
Найдем bгр:
Т.о. при b > bгр системе с запаздыванием нет периодического режима.
Найдем Сгр:
Т.о. при С < Сгр системе с запаздыванием нет периодического режима.
Сравнительные графики –Zнэ(A) и Wл(jω) приведены в приложении 1 на рис. 7.
Построение диаграммы качества
Будем рассматривать колебательный переходный процесс в системе как собственные колебания системы при отсутствии внешних воздействий. Если выполнена гармоническая линеаризация нелинейного элемента, то переходный процесс мы будем искать в виде:
Будем считать переходные колебания близкими к синусоидальным, полагая, однако, что показатели затухания ξ и ω медленно изменяются с изменением амплитуды колебаний a в ходе процесса. Сама амплитуда а(t) может меняться быстро вплоть до затухания за один – два периода. Тогда решение вместо (9) надо искать в виде:
Используя (3) составим характеристическое уравнение замкнутой гармонически линеаризованной НСАР:
Найдем выражение ω через ξ, а и К из Y(ξ, ω, a) и подставим его в X(ξ, ω, а).
Найдем выражение К через а и ξ:
Подставляя вместо ξ значения слева от нуля, ноль и значения справа от нуля построим диаграмму - зависимость а(К). График а(К) приведен в приложении на рисунке 8 а). Подставим вместо К заданное значение (К = 4) и выразим ξ через а. График зависимости ξ(а) приведен в приложении на рисунке 8 б).
Заключение.
Была исследована нелинейная система автоматического регулирования температуры. Выведено дифференциальное уравнение, построены фазовые портреты системы при наличии и отсутствии запаздывания. Расчет периодического режима был проведен двумя методами: методом фазовой плоскости (точный метод) и частотным методом (приближенный метод). Определены наличие и параметры автоколебаний, т.е. амплитуда и частота периодического режима, в обоих методах. Приведены рекомендации по стабилизации системы и оценки влияния параметров нелинейного элемента и линейной части на параметры периодического режима.
Приложение 1.
Рис.1 а) и б) Фазовый портрет без запаздывания при Ө = 35; Ө` = 15 и Ө = 15; Ө` = 10
Рис.2 а) и б) Фазовый портрет с запаздыванием при Ө = 35; Ө` = 15 и Ө = 15; Ө` = 10
Рис 3. Переходный процесс Ө(t) при τ = 0 с.
Рис 4. Переходный процесс Ө(t) при τ = 5с.
Рис 5. Переходный процесс ξ(t).
Рис 6 а). Расчет НСАР частотным методом, τ = 0 с.
Рис 6 б). Расчет НСАР частотным методом, τ = 5 с.
Рис 8 а) Диаграмма качества.
Рис. 8 б) Зависимость ξ(а)
Приложение 2.
Пункт 1:
-
τ = 5 c.
Ө
Ө`
Ө
Ө`
25
15
5
10
-39,8
-30,2
29,5
7,5
-70,2
-27,2
-40
-28,4
65,5
41,8
-70,3
-25,6
95,9
38,8
65,5
41,8
-78
-47,5
95,9
38,8
-108,4
-44,5
-78
-47,5
83,4
49,9
-108,4
-44,5
113,7
46,9
83,4
49,9
-85,1
-50,8
113,7
46,9
-115,7
-47,8
-85,1
-50,8
85,9
51,1
-115,7
-47,8
116,5
48,1
85,9
51,1
-86,9
-51,3
116,5
48,1
-115,7
-47,8
-86,9
-51,3
Пункт 2:
Координаты точек Wл(jω):
ω=0.200 A(ω)= 8.944 fi(ω)=-176.4 Re(ω)=-8.926 Jm(ω)=-0.569
ω=0.201 A(ω)= 8.864 fi(ω)=-176.6 Re(ω)=-8.849 Jm(ω)=-0.528
ω=0.202 A(ω)= 8.785 fi(ω)=-176.8 Re(ω)=-8.772 Jm(ω)=-0.489
ω=0.203 A(ω)= 8.707 fi(ω)=-177.0 Re(ω)=-8.696 Jm(ω)=-0.450
ω=0.204 A(ω)= 8.631 fi(ω)=-177.3 Re(ω)=-8.621 Jm(ω)=-0.412
ω=0.205 A(ω)= 8.555 fi(ω)=-177.5 Re(ω)=-8.546 Jm(ω)=-0.375
ω=0.206 A(ω)= 8.480 fi(ω)=-177.7 Re(ω)=-8.473 Jm(ω)=-0.338
ω=0.207 A(ω)= 8.406 fi(ω)=-177.9 Re(ω)=-8.400 Jm(ω)=-0.303
ω=0.208 A(ω)= 8.333 fi(ω)=-178.2 Re(ω)=-8.328 Jm(ω)=-0.268
ω=0.209 A(ω)= 8.260 fi(ω)=-178.4 Re(ω)=-8.257 Jm(ω)=-0.234
ω=0.210 A(ω)= 8.189 fi(ω)=-178.6 Re(ω)=-8.187 Jm(ω)=-0.200
ω=0.211 A(ω)= 8.119 fi(ω)=-178.8 Re(ω)=-8.117 Jm(ω)=-0.167
ω=0.212 A(ω)= 8.049 fi(ω)=-179.1 Re(ω)=-8.048 Jm(ω)=-0.135
ω=0.213 A(ω)= 7.981 fi(ω)=-179.3 Re(ω)=-7.980 Jm(ω)=-0.103
ω=0.214 A(ω)= 7.913 fi(ω)=-179.5 Re(ω)=-7.913 Jm(ω)=-0.072
ω=0.215 A(ω)= 7.846 fi(ω)=-179.7 Re(ω)=-7.846 Jm(ω)=-0.042
ω=0.216 A(ω)= 7.780 fi(ω)=-179.9 Re(ω)=-7.780 Jm(ω)=-0.012
ω=0.217 A(ω)= 7.715 fi(ω)=-180.1 Re(ω)=-7.715 Jm(ω)= 0.017
ω=0.218 A(ω)= 7.650 fi(ω)=-180.4 Re(ω)=-7.650 Jm(ω)= 0.045
ω=0.219 A(ω)= 7.587 fi(ω)=-180.6 Re(ω)=-7.586 Jm(ω)= 0.073
ω=0.220 A(ω)= 7.524 fi(ω)=-180.8 Re(ω)=-7.523 Jm(ω)= 0.101
Координаты точек –Zнэ(A):
A=190.000 -modZнэ(A)=-7.471 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.471 Jm(ω)= 0.000
A=191.000 -modZнэ(A)=-7.511 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.511 Jm(ω)= 0.000
A=192.000 -modZнэ(A)=-7.550 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.550 Jm(ω)= 0.000
A=193.000 -modZнэ(A)=-7.589 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.589 Jm(ω)= 0.000
A=194.000 -modZнэ(A)=-7.628 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.628 Jm(ω)= 0.000
A=195.000 -modZнэ(A)=-7.667 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.667 Jm(ω)= 0.000
A=196.000 -modZнэ(A)=-7.707 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.707 Jm(ω)= 0.000
A=197.000 -modZнэ(A)=-7.746 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.746 Jm(ω)= 0.000
A=198.000 -modZнэ(A)=-7.785 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.785 Jm(ω)= 0.000
A=199.000 -modZнэ(A)=-7.824 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.824 Jm(ω)= 0.000
A=200.000 -modZнэ(A)=-7.864 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.864 Jm(ω)= 0.000
A=201.000 -modZнэ(A)=-7.903 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.903 Jm(ω)= 0.000
A=202.000 -modZнэ(A)=-7.942 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.942 Jm(ω)= 0.000
A=203.000 -modZнэ(A)=-7.981 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-7.981 Jm(ω)= 0.000
A=204.000 -modZнэ(A)=-8.020 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-8.020 Jm(ω)= 0.000
A=205.000 -modZнэ(A)=-8.060 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-8.060 Jm(ω)= 0.000
A=206.000 -modZнэ(A)=-8.099 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-8.099 Jm(ω)= 0.000
A=207.000 -modZнэ(A)=-8.138 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-8.138 Jm(ω)= 0.000
A=208.000 -modZнэ(A)=-8.177 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-8.177 Jm(ω)= 0.000
A=209.000 -modZнэ(A)=-8.217 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-8.217 Jm(ω)= 0.000
A=210.000 -modZнэ(A)=-8.256 fi(ω)= 0.0 Re(ω)=-8.256 Jm(ω)= 0.000