Построение фазовых портретов системы, определение наличия и параметров периодического режима и его устойчивости.
Для исследования нелинейных систем широко используется метод фазового пространства, который состоит в следующем. Представим себе n-мерное пространство координат состояния системы (х1, х2, … , xn), называемое фазовым пространством. Тогда начальное состояние системы х(to) изобразится определенной точкой Мо с координатами х1(to), … , xn(to), а процесс во времени, т.е решение x(t) = ( x1(t), ... , xn(t)) получит изображение в виде некоторой кривой, которая называется фазовой траекторией данной системы.
В нашем случае начальное положение системы определяется нулевыми значениями Ө(t = 0) и Ө`(t = 0), значит фазовое пространство будет состоять из двух координат: Ө(t) и Ө`(t) = y(t), а фазовая траектория будет определяться уравнением Ө(t) = f (y).
Найдем уравнения фазовых траекторий:
Уравнение фазовой траектории определяет кривую на фазовой плоскости. Каждой совокупности начальных условий Өо и yо будет соответствовать свое решение (7) и своя фазовая траектория.
1. Построим фазовый портрет системы без запаздывания, т.е. τ = 0 с.
Уравнение (7) примет вид:
Линии переключения делят фазовую плоскость на три участка. Система будет иметь различные уравнения фазовых траекторий на этих участках:
Подставим численные значения и рассчитаем уравнения фазовых траекторий.
1.1 Расчет для Өо = 35, yо = 15.
Уравнения фазовых траекторий на остальных интервалах рассчитываются аналогично (уравнения на интервалах в общем виде остаются без изменений, меняются только значения постоянных интегрирования).
1.2 Расчет для Өо =1 5, yо = 10.
Уравнения фазовых траекторий на остальных интервалах рассчитываются аналогично (уравнения на интервалах в общем виде остаются без изменений, меняются только значения постоянных интегрирования).
Фазовые портреты для пунктов 1.1 и 1.2 приведены в приложении 1 на рисунках 1 а) и б) соответственно. В обоих случаях периодический режим в системе затухает, в системе есть периодический режим и соответственно автоколебание с амплитудой
Ап= Өmax=26.67 и частотой wп=ymax/ Өmax=0.26 , где ymax=6.957.
2. Построим фазовый портрет системы с запаздыванием, т.е. τ = 5 с.
Линии переключения делят фазовую плоскость на три участка. Система будет иметь различные уравнения фазовых траекторий на этих участках:
Но т.к. в системе есть запаздывание, то на фазовой плоскости линии переключения будут повернуты по часовой стрелке, так как показано на рисунке 1.
Для упрощения нахождения
постоянных интегрирования в уравнениях
фазовых траекторий исследуем систему
методом припасовывания. Метод состоит
в том, что линейные дифференциальные
уравнения решаются отдельно
для каждого участка процесса, на котором они справедливы. Затем на каждом участке постоянные интегрирования определяются таким образом, чтобы все соседние участки правильно состыковывались друг с другом: по заданным
рис.1 начальным условиям процесса определяются постоянные интегрирования в общем решении для первого участка, значения фазовых координат в конце первого участка служат начальными условиями для второго участка и т.д.
Мы найдем значения координат в точках пересечения фазовой траектории с линиями переключения. Найденные значения координат подставим в уравнения фазовой траектории и найдем значения постоянных интегрирования. После чего по уравнениям можно будет построить фазовую траекторию.
Уравнение НСАР в операторной форме:
Преобразовав уравнение, получим:
г де +C, если Ө > b; I участок
V=
-C, если Ө < -b. III участок
2.1 Расчет для Өо = 35, yо = 15.
Уравнения на интервалах 4-8 рассчитываются аналогично.
Затем система входит в периодический режим и двигается по предельному циклу.
2
.2
Расчет для Өо = 15, yо
= 10.
Уравнения на остальных интервалах рассчитываются аналогично пункту 2.1
Фазовые портреты для пунктов 2.1 и 2.2 приведены в приложении 1 на рисунке 2 а) и б) соответственно. В приложении 2 пункт 1 приведена таблица значении координат точек переключения. В обоих случаях в системе возникают автоколебания (т.к. существует устойчивый предельный цикл) с амплитудой Ап = Ө max = 168 и частотой ωп = ymax / Өmax = 0.1048 с-1 (ymax =17.6).