11. Логічні основи комп’ютерних систем. Алгебра висловлень і комп’ютер. Базові логічні елементи. Комбінаційні схеми та їх побудова. Поняття скінченного автомата. Приклади побудови функціональних схем цифрових автоматів.
Алгебра висловлювань і комп’ютер
Світ формул алгебри висловлювань – світ надзвичайно цікавий, і особливим є те, що велика кількість логічних задач розв’язується за єдиним алгоритмом, а це означає, що є можливість розібратися в тому, як ЕОМ складає розклад, враховує багато різних чинників при розв’язуванні досить реальних практичних задач.
Підкреслю, що при розв’язанні складних задач уміння створювати з простих умов передачі управління складні умови, що формулюються за допомогою алгебри висловлювань, дозволяє робити програми більш простими і ефективними. Це означає, що алгебра висловлювань необхідна для програміста, потреба в ній може виникнути при розв’язанні не тільки логічної задачі, а й задачі на обчислення, графічної, або задачі символьної обробки.
Алгеброю логіки називають розділ математичної логіки, який вивчає загальні властивості виразів, складених із окремих висловлень.
Об'єктами алгебри логіки є розповідні речення, відносно кожного з яких можна говорити, істинне воно чи хибне. Такі речення називаються простими висловленнями.
Наприклад: Число 8 ділиться на 2;
Берлін - столиця Франції;
Перше висловлення є простим та істинним, бо однозначно можна сказати, що дійсно число 8 ділиться на 2. Друге висловлення теж просте, але хибне, бо всім відомо, що Берлін не столиця Франції.
Над простими висловленнями можна виконувати такі логічні операції: кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація, еквіваленція та заперечення. В результаті виконання цих операцій із простих висловлень утворюються складні. Якщо ми з’єднаємо сполучником і висловлення "число 8 ділиться на 2" і висловлення "число 8 ділиться на 4", то отримаємо складне висловлення "число 8 ділиться на 2 і на 4".
В алгебрі логіки всі висловлення розглядаються лише з точки зору логічного значення. Вважається, що кожне висловлення або істинне, або хибне, і ні одне висловлення не може бути і істинним, і хибним. Істинне висловлення А позначається А = 1, а хибне висловлення В позначається В = 0
Операція кон’юнкція
З'єднання двох простих висловлювань А і В за допомогою сполучника І називається логічним множенням або кон'юнкцією, а результат операції - логічним добутком.
Операцію кон'юнкція в більшості випадків позначають знаком ^ (використовують і знаки & , · ). В звичайній мові цій операції відповідає сполучник "І". Запис А ^ В читається "а кон'юнкція в" або "а і в" Правило істинності для кон'юнкції :
Висловлення А = а ^ в істинно, якщо істинні його вхідні складові. Вихід буде дорівнювати 0, якщо хоч би одна з вхідних величин дорівнює нулю.
Таблиця істинності операції кон'юнкція:
А |
В |
А ^ В |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Операція диз’юнкція
Для позначення операції диз'юнкція використовують знак V, який в звичайній мові відповідає сполучнику АБО. Сполучник АБО ми використовуємо в двох значеннях: виключаючому і невиключаючому. Пояснимо це на прикладах.
1. Розглянемо речення: " Володя вчора в 6 годин вечора читав книгу або їхав в автобусі на стадіон" .Сполучник АБО використано в невиключаючому розумінні - Володя міг читати і одночасно їхати в автобусі. Одне не виключає іншого.
2. Розглянемо ще одне речення: "Володя вчора спостерігав за матчем із західної або східної трибуни". Тут сполучник АБО має виключаючий характер - дві описані ситуації виключають одна одну: не можна спостерігати один і той же матч одночасно з двох протилежних трибун
В розглянутій алгебрі висловлень сполучник АБО буде використовуватись тільки в невиключаючому розумінні З'єднання двох простих висловлень А і В у одне за допомогою сполучника АБО, вжитого в невиключаючому змісті називається логічним додаванням або диз'юнкцією, а одержане складне висловлення - логічною сумою.
Висловлення А = а v в істинне, якщо істинне хоча б одне з складових вхідних висловлень. Якщо всі вхідні складові висловлення хибні, то вихідний сигнал також хибний.
В математиці прикладом диз'юнкції може служити нестрога нерівність, наприклад: "3 <= 7". Така нерівність вважається істинною, бо з двох її складових частин "3 < 7" та "3 = 7" перша частина істинна. Вірною буде і нерівність "3 >= 3". Але в нерівності "7 <= 3" жодна з складових частин не буде істинною ("7 < 3" та "7 = 3"), тому і складене висловлення буде хибним.
Діаграма Ейлера для ілюстрації операції кон'юнкція матиме наступний вигляд:
Така ж діаграма буде ілюструвати об'єднання множин, тому знаки диз'юнкції "v" та об'єднання "U" схожі між собою та схожі на літеру "і" (разом).
Таблиця істинності операції диз'юнкція:
А |
В |
А v В |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |