Теорема про зміну кількості руху точки|точки|

Теорема. Похідна за часом від кількості руху точки|точки| дорівнює силі, що діє на точку|точку|.

Запишемо основний закон динаміки у вигляді|виді| . Оскільки|тому що| маса постійна, то внесемо її під знак похідної.

Тоді , (*)

що і потрібно було довести.

У проекціях на координатні осі рівняння (*) можна представити|уявляти| у вигляді|виді|:

Теорема імпульсів (у диференціальній формі). Диференціал від кількості руху точки|точки| дорівнює елементарному імпульсу сили, що діє на точку|точку|.

Помножимо ліву і праву частини|частки| рівняння (*) на і отримаємо|одержуватимемо|

(**)

У проекціях на координатні осі отримуємо|одержуємо|:

,

,

.

Теорема імпульсів (в інтегральній формі). Зміна кількості руху точки|точки| за будь-який проміжок часу дорівнює імпульсу сили за цей же проміжок часу.

Інтегруючи обидві частини|частки| рівняння (**) за часом в межах від нуля до отримуємо|одержуємо|:

У проекціях на координатні осі отримуємо|одержуємо|:

,

,

Момент кількості руху точки|точки|

У деяких завданнях|задачах| в якості динамічної характеристики рухомої точки|точки| замість самої кількості руху розглядають|розглядують| його момент відносно|відносно| будь-якого центру або осі. Ці моменти визначаються також як і моменти сили.

Моментом кількості руху матеріальної точки|точки| відносно|відносно| деякого центру О називається вектор, який визначається рівністю

Момент кількості руху точки|точки| називають також кінетичним моментом.

Момент кількості руху відносно|відносно| будь-якої осі , що проходить через центр О, дорівнює проекції вектора кількості руху на цю вісь .

Я кщо кількість руху задана своїми проекціями на осі координат і задані| координати точки в просторі, то момент кількості руху відносно початку координат обчислюється|обчисляє,вичисляє| таким чином:

Рисунок 3-1

Проекції моменту кількості руху на осі координат дорівнюють:

Одиницею вимірювання|виміру| кількості руху в СІ є|з'являється,являється| – .

Теорема про зміну моменту кількості руху точки|точки|

Теорема. Похідна за часом від моменту кількості руху точки|точки|, взятої відносно|відносно| будь-якого|будь-якого| центру, дорівнює моменту сили, що діє на точку|точку| відносно|відносно| того ж центру.

Доказ: Візьмемо диференціал від рівняння моменту кількості руху за часом

, отже (*)

що і потрібно було довести.

Теорема. Похідна за часом від моменту кількості руху точки|точки|, узятої відносно|відносно| будь-якої осі, дорівнює моменту сили, що діє на точку|точку| відносно|відносно| тієї ж осі.

Для доказу досить спроектувати векторне рівняння (*) на цю вісь. Для осі це виглядатиме так:

Слідства з|із| теорем:

1. Якщо момент сили відносно|відносно| точки|точки| дорівнює нулю, то момент кількості руху відносно|відносно| цієї точки|точки| величина постійна.

,

2. Якщо момент сили відносно|відносно| осі дорівнює нулю, то момент кількості руху відносно|відносно| цієї осі величина постійна.

,