Лекція 6

Короткий зміст|вміст,утримання|: Плоский рух твердого тіла. Рівняння плоского руху. Розкладання плоского руху на поступальну і обертальну ходу. Кутова швидкість і кутове прискорення при плоскому русі. Швидкості точок тіла при плоскому русі. Миттєвий центр швидкостей. Методи знаходження положення|становища| миттєвого центру швидкостей.

Плоский рух твердого тіла

Плоским рухом твердого тіла називається такий його рух, при якому кожна його точка|точка| весь час|увесь час| рухається|суне| в одній і тій же площині|плоскості|.

Площини|плоскість|, в яких рухаються|сунуть| окремі точки тіла паралельні між собою і паралельні одній і тій же нерухомій площині|плоскості|. Плоский рух твердого тіла часто називають плоско-паралельним|. Траєкторії точок тіла при плоскому русі є|з'являються,являються| плоскими кривими.

Плоский рух твердого тіла має велике значення в техніці. Обертальний рух твердого тіла навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі є|з'являється,являється| окремим випадком руху твердого тіла.

При вивченні плоского руху, як і будь-якого іншого необхідно розглянути|розглядувати| способи завдання|задавання| цього руху, а також прийоми обчислення|підрахунку| швидкостей і прискорень точок тіла.

Я кщо в тілі провести деяку пряму О₁О₂, перпендикулярну площинам|плоскості|, в яких відбувається|походить| рух точок|точок|, то всі точки цієї прямої рухатимуться|сунутимуть| по однаковим траєкторіям з|із| однаковими швидкостями і прискореннями; сама пряма буде, природно, зберігати свою орієнтацію в просторі. Таким чином, при плоскому русі твердого тіла досить розглянути|розглядувати| рух один з перетинів тіла.

Рисунок 6-1

Перетин твердого тіла називатимемо плоскою фігурою. Положення|становище| фігури на її площині|плоскості| повністю|цілком| визначається положенням|становищем| відрізка прямої лінії, що жорстко скріпляється з|із| цією плоскою фігурою.

Р івняння плоского руху твердого тіла

Для завдання|задавання| положення|становища| плоскої фігури на площині|плоскості| відносно|відносно| системи координат , яка лежить в площині|плоскості| фігури досить задати на цій площині|плоскості| положення|становище| відрізка АВ, що скріпляється з|із| фігурою.

Рисунок 6-2

Положення|становище| відрізка АВ відносно|відносно| системи координат визначається завданням|задаванням| координат будь-якої|будь-якої| точки цього відрізка і його напряму|направлення|. Наприклад, координати точки А ( ) і напрям|направлення|, заданий кутом|рогом,кутком| .

Рівняння руху плоскої фігури відносно|відносно| системи координат мають вигляд|вид|: .

Тверде тіло при плоскому русі має три міри свободи.

Функції

називаються рівняннями плоского руху твердого тіла.

Перейдемо до вивчення руху окремої точки твердого тіла. Положення|становище| будь-якої точки М плоскої фігури відносно|відносно| рухомої|жвавої,рухливої| системи відліку , що скріпляється з|із| цією рухомою фігурою і яка лежить в її площині|плоскості|, повністю|цілком| визначається завданням|задаванням| координат x і у|біля,в| точки М (Рисунок 6.3).

Рисунок 6-3

Між координатами точки М в різних системах відліку існує зв'язок:

(6-1)

де - довжина відрізка ОМ, - постійний кут|ріг,куток| між ОМ і віссю . З урахуванням|з врахуванням| виразів і отримуємо|одержуємо|

(6-2)

Формули (6-2) є|з'являються,являються| рівняннями руху точки|точки| М плоскої фігури відносно|відносно| координат . Ці формули дозволяють визначити координати будь-якої точки плоскої фігури по заданих рівняннях руху цієї фігури і координатах цієї точки відносно|відносно| рухомої|жвавої,рухливої| системи відліку, що скріпляється з|із| рухомою фігурою.

Використовуючи векторні для матриці позначення, рівняння (6-2) можна записати в такій формі:

(6-3)

де А – матриця повороту на площині|плоскості|:

, , , .

Розкладання плоского руху на поступальні

і обертальні рухи

Теорема. Будь-який рух твердого тіла, у тому числі і рух плоскої фігури в її площині|плоскості|, безліччю способів можна розкласти на два рухи, один з яких переносний, а другий – відносний.

З окрема, рух плоскої фігури в її площині|плоскості| відносно|відносно| системи, розташованої|схильної| в тій же площині|плоскості|, можна розкласти на переносний і відносний рухи таким чином. Приймемо за переносний рух фігури її рух разом з поступально рухомою системою координат , початок|розпочинало,зачинало| якої скріпляється з|із| точкою|точкою| О фігури, прийнятою за полюс. Тоді відносний рух фігури буде по відношенню до рухомої|жвавої,рухливої| системи координат обертанням навколо|навкруг,довкола| рухомої|жвавої,рухливої| осі, перпендикулярній плоскій фігурі, що проходить через вибраний полюс.

Для доказу цього досить показати, що плоску фігуру в її площині|плоскості| з|із| одного положення|становища| в будь-яке інше можна перевести|перекладати,переказувати| двома переміщеннями – поступальним переміщенням в площині|плоскості| фігури разом з будь-яким| полюсом і поворотом в тій же площин|плоскості|і навкол|навкруг,довкола|о цього полюса.

Рисунок 6-4

Розглянемо|розглядуватимемо| два будь-яких положення|становища| плоскої фігури 1 і| 2. Виділимо відрізок АВ в даній фігурі.

Перехід фігури з|із| положення|становища| 1 в положення|становище| 2 можна розглядати|розглядувати| як суперпозицію двох рухів: поступального з|із| 1 в 1' і обертального з|із| 1' в 2 навколо|навкруг,довкола| точки A', званої зазвичай|звично| полюсом (рисунок 6-4а|). Істотно|суттєвий|, що як полюс можна вибрати будь-яку точку|точку|, що належить фігурі або навіть лежачу в площині|плоскості| поза|зовні| фігурою. На рисунок 6-4б|, наприклад|приміром|, як полюс вибрана точка В. Зверніть увагу: довжина шляху|колії,дороги| при поступальному переміщенні змінилася (в даному випадку збільшилася), але|та| кут|ріг,куток| повороту залишився тим самим!

Кутова швидкість і кутове прискорення тіла при плоскому русі

Для характеристики обертальної частини|частки| плоского руху твердого тіла навколо|навкруг,довкола| рухомої|жвавої,рухливої| осі, що проходить через вибраний полюс, вводиться|запроваджує| поняття кутової швидкості і кутового прискорення .

і , де - одиничний|поодинокий| вектор, направлений|спрямований| по осі обертання.

Якщо кут|ріг,куток| повороту навколо|навкруг,довкола| рухомої|жвавої,рухливої| осі, що проходить через полюс позначити , то , а .

Вектори і можна зображати|змальовувати| в будь-яких точках рухомої|жвавої,рухливої| осі обертання, тобто вони є|з'являються,являються| вільними векторами.

Швидкості точок тіла при плоскому русі

Т еорема. Швидкість будь-якої точки фігури при її плоскому русі дорівнює векторній сумі швидкості полюса і відносної швидкості цієї точки|точки| від обертання фігури навколо|навкруг,довкола| полюса.

Рисунок 6-5

Застосовуючи до плоского руху теорему про складання швидкостей для будь-якої точки|точки| В фігури, отримуємо |одержуємо| , де - абсолютна швидкість точки|точки| В плоскої фігури; - швидкість точки|точки| В переносної поступальної ходи плоскої фігури разом, наприклад, з|із| точкою|точкою| А цієї фігури - швидкість точки B у відносному русі, яким є|з'являється,являється| обертання плоскої фігури навколо|навкруг,довкола| точки|точки| А з|із| кутовою швидкістю .

Оскільки|тому що| за переносний рух вибрана поступальна хода разом з точкою|точкою| А, то у|біля,в| всіх точок плоскої фігури однакові переносні швидкості, які співпадають з|із| абсолютною швидкістю точки|точки| А, тобто

Швидкість відносного руху, у разі, коли воно є|з'являється,являється| обертальним рухом, дорівнює:

Швидкість розташована|схильна| в площині|плоскості| рухомої фігури і направлена|спрямована| перпендикулярно відрізку АВ, що сполучає|з'єднує| точку|точку| В з|із| полюсом А. Цю відносну швидкість можна виразити|виказувати,висловлювати| у вигляді векторного добутку , де кутова швидкість вважається|лічить| направленою|спрямованою| по рухомій|жвавій,рухливій| осі обертання, що проходить через точку|точку| А і перпендикулярній площині|плоскості| фігури. Відносну швидкість позначимо . Це позначення показує, що швидкість відносного руху точки|точки| В виходить від обертання плоскої фігури навколо|навкруг,довкола| рухомої|жвавої,рухливої| осі, що проходить через точку|точку| А, або просто навколо|навкруг,довкола| точки|точки| А. ; де

Що і потрібно було довести.

Миттєвий центр швидкостей

Миттєвим центром швидкостей називається точка плоскої фігури, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю.

Теорема. У кожен момент часу при плоскому русі фігури в її площині|плоскості| при (непоступальний рух), є|наявний| один єдиний центр швидкостей.

Д ля доказу досить вказати спосіб знаходження миттєвого центру швидкостей, якщо відомі швидкість будь-якої точки|точки| О плоскої фігури і її кутова швидкість в даний момент часу.

Рисунок 6-6

, , отже .

Миттєвий центр швидкостей знаходиться|перебуває| на перпендикулярі до швидкості , проведеному з|із| точки|точки| О, на відстані .

Миттєвий центр швидкостей - це єдина точка плоскої фігури для даного моменту часу. У інший момент часу миттєвим центром швидкостей буде вже інша точка|точка|.

Візьмемо точку Р за полюс

Оскільки|тому що| , то . Аналогічний результат виходить для будь-якої іншої точки плоскої фігури.

.

.

Швидкості точок плоскої фігури визначаються в даний момент так, якби|аби| рух фігури був обертанням навколо|навкруг,довкола| миттєвого центру швидкостей.

Швидкості точок плоскої фігури пропорційні|пропорціональні| їх відстаням до миттєвого центру швидкостей.

Методи знаходження положення|становища| МЦС

1). Відомий вектор швидкості будь-якої| точки A плоскої фігури і її кутова швидкість .
МЦС (точка P) знаходиться|перебуває| на перпендикулярі до вектора, проведеному через точку|точку| A. Відстань і відкладається у бік, який вказує|вказує| вектор після|потім| повороту на кут|ріг,куток| у напрямі дугової стрілки . При цьому виходить, що швидкість ( )
2). Відомі не паралельні один одному швидкості і двох точок плоскої фігури.
МЦС (точка P) знаходиться|перебуває| в точці перетину перпендикулярів, проведених через точки A і B до швидкостей цих точок|точок|. Кутова швидкість плоскої фігури дорівнює . Відзначимо, що для знаходження тільки|лише| положення|становища| МЦС достатньо|досить| знати лише напрями|направлення| швидкостей двох точок|точок| . 3). Відомі паралельні один одному швидкості і точок A і B плоскої фігури, перпендикулярні відрізку AB|, направлені|спрямовані| в один бік і не рівні по модулю ( ). МЦС (точка P) знаходиться|перебуває| в точці перетину відрізка AB| і прямою, проведеною через кінці векторів і . При заданій довжині відрізка AB| відстані від МЦС до точок A і B визначаються з|із| пропорції: . Кутова швидкість фігури Методи знаходження положення|становища| МЦС 4). Відомі паралельні один одному швидкості і точок A і B плоскої фігури, перпендикулярні відрізку AB|, направлені|спрямовані| в різні боки. МЦС (точка P) знаходиться|перебуває| в точці перетину відрізка AB| і прямою, проведеною через кінці векторів і . При заданій довжині відрізка AB| відстані від МЦС до точок A і B визначаються з|із| пропорції: . Кутова швидкість фігури . 5). Плоска фігура котиться без ковзання по нерухомій кривій. МЦС (точка P) знаходиться|перебуває| в точці зіткнення фігури з|із| кривою, оскільки|тому що| швидкості точок фігури і нерухомої кривої, що знаходяться|перебувають| в зіткненні, рівні між собою і, отже, дорівнюють нулю. Якщо відома швидкість будь-якої точки A фігури, то кутова швидкість .
6). Відомо, що швидкості і двох точок плоскої фігури паралельні один одному і не перпендикулярні відрізку AB|.
МЦС в даний момент часу не існує або, іншими словами, знаходиться|перебуває| в нескінченності. Кутова швидкість плоскої фігури в даний момент дорівнює нулю. Рух фігури називається миттєво-поступальним. Швидкості всіх точок фігури дорівнюють . Аналогічний результат показаний в п. 4.