Рівномірне обертання

Обертання називається рівномірним, якщо його кутова швидкість постійна, тобто .

Оскільки ,|тому що| то . Початкові умови: , то після|потім| інтеграції отримаємо|одержуватимемо| або

Обертання яке рівномірно змінюється

Обертання називається рівноприскореним, якщо його кутове прискорення постійне і більше нуля, тобто .

Обертання називається рівносповільненим|, якщо його кутове прискорення постійне і менше нуля, тобто .

Оскільки |тому що|, то . Початкові умови: ,

то після|потім| інтеграції отримаємо|одержуватимемо| або , далі | , і після|потім| інтеграції

або .

Лекція 5

Короткий зміст|вміст,утримання|: Швидкості і прискорення точок тіла при обертанні. Векторні формули для швидкостей і прискорень точок тіла. Складний рух точки|точки|. Абсолютний, відносний і переносний рух точки|точки|. Складання швидкостей. Складання прискорень при поступальній ході твердого тіла.

Швидкості і прискорення точок тіла при обертанні

Перейдемо до вивчення руху окремих точок твердого тіла. Відоме рівняння обертання твердого тіла навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі .

Р озглянемо|розглядуватимемо| яку-небудь|будь-якою| точку М твердого тіла, що знаходиться|перебуває| на відстані h від осі обертання. При обертанні твердого тіла точка М описуватиме коло радіусу h, площина|плоскість| якої перпендикулярна осі обертання, а центр О лежить на самій осі(рисунок 5-1). Якщо за час dt відбувається|походить| елементарний поворот тіла на кут |ріг,куток|, то точка М₀ при цьому здійснює|скоює,чинить| уздовж|вздовж,уподовж| своєї траєкторії елементарне переміщення в точку М .

Тоді алгебраїчна швидкість буде дорівнювати

або (5-1)

Рисунок 5-1

Швидкість точки|точки| дорівнює . Швидкість на відміну від кутової швидкості тіла називають іноді|інколи| ще лінійною або окружною швидкістю.

Модуль швидкості дорівнює

. (5-2)

Величини швидкостей точок тіла при його обертанні навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі пропорційні|пропорціональні| найкоротшим відстаням від цих точок|точок| до осі. Коефіцієнтом пропорційності є|з'являється,являється| кутова швидкість . Швидкості точок|точок| направлені|спрямовані| по дотичним до траєкторій і, отже, перпендикулярні радіусам обертання.

Прискорення точки|точки| розкладаємо на дотичну і нормальну складові, тобто

.

Дотичне і нормальне прискорення обчислюються|обчисляють,вичисляють| за формулами

, .

Таким чином, і модуль прискорення обчислюється за формулою .

Дотичні, нормальні і повні|цілковиті| прискорення точок тіла при його обертанні навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі як і швидкості так само пропорційні|пропорціональні| найкоротшим відстаням від цих точок|точок| до осі. Нормальне прискорення направлене|спрямоване| по радіусу кола до осі обертання. Напрям|направлення| дотичного прискорення залежить від знаку кутового прискорення.

Векторні швидкості і прискорення точок тіла

Швидкість точки|точки| по модулю і напряму|направленню| можна представити|уявляти| векторним добутком|добутком|

(5-3)

д е - радіус-вектор точки|точки| М, проведений з|із| довільної точки осі обертання .

Цей вираз називається векторною формулою Ейлера.

Доказ. Вектор перпендикулярний площині|плоскості|, в якій розташовані|схильні| вектори і , отже, по напряму|направленню| він співпадає|збігається| з|із| швидкістю . Модуль векторного добутку|добутку| . Таким чином, векторний добуток|добуток| по модулю і напряму|направленню| визначає швидкість точки|точки|.

Рисунок 5-2

Визначимо прискорення точки|точки| візьмемо диференціал від формули Ейлера.

, або .

Перший доданок є|з'являється,являється| дотичним прискоренням, а другий – нормальним.

; .

Зіставлення двох формул для швидкості точки|точки| ( і ) дає формулу для обчислення|підрахунку| похідної за часом від вектора : .

У цій формулі вектор має постійний модуль, оскільки|тому що| сполучає|з'єднує| весь час|увесь час| дві точки твердого тіла.

Складний рух точки|точки|

О сновні поняття

У багатьох завданнях|задачах| рух точки|точки| доводиться розглядати|розглядувати| відносно двох (і більш) систем відліку, рухомих один відносно|відносно| одного(рисунок 5-3).

У простому випадку складний рух точки|точки| складається з відносного і переносного рухів. Визначимо ці рухи.

Розглянемо|розглядуватимемо| дві системи відліку рухомі один відносно|відносно| одного. Одну систему відліку

Рисунок 5-3 Oxyz| приймемо за основну і нерухому. Друга система відліку | рухатиметься|сунутиме| відносно|відносно| першої.

Рух точки|точки| відносно|відносно| рухомої|жвавої,рухливої| системи відліку | називається відносним. Характеристики цього руху, такі як траєкторія, швидкість і прискорення, називаються відносними. Їх позначають|значать| індексом r.

Рух точки|точки| відносно|відносно| основної нерухомої системи відліку Oxyz називається| абсолютним (або складним). Траєкторія, швидкість і прискорення цього руху називаються абсолютними. Їх позначають|значать| без індексу.

Переносним рухом точки|точки| називається рух, який вона здійснює|скоює,чинить| разом з рухомою|жвавою,рухливою| системою відліку як точка|точка|, що жорстко скріплена з|із| цією системою в даний момент часу. Внаслідок|внаслідок| відносного руху рухома точка|точка| в різні моменти часу співпадає|збігається| з|із| різними точками тіла , з|із| яким скріплена рухома|жвава,рухлива| система відліку. Переносною швидкістю і переносним прискоренням є|з'являються,являються| швидкість і прискорення тієї точки тіла , з|із| якою в даний момент співпадає|збігається| рухома точка|точка|. Переносну швидкість і прискорення позначають|значать| індексом e.

Якщо траєкторії всіх точок тіла , що скріпляються з|із| рухомою|жвавою,рухливою| системою відліку зобразити|змальовувати| на рисунку, то отримаємо|одержуватимемо| сімейство ліній – сімейство траєкторій переносного руху точки М. Внаслідок відносного руху точки|точки| М в кожен момент часу вона знаходиться|перебуває| на одній з траєкторій переносного руху.

Один і той же абсолютний рух, вибираючи різні рухомі|жваві,рухливі| системи відліку, можна вважати|лічити| таким, що складається з різних| переносних і відповідно відносних рухів.

Приклад|зразок|.

Є|наявний| круглий диск, який обертається з|із| постійною кутовою швидкістю навколо|навкруг,довкола| осі, перпендикулярної площині|плоскості| диска. На диску є|наявний| канавка, направлена|спрямована| уздовж|вздовж,уподовж| радіуса диска. Уздовж|вздовж,уподовж| канавки переміщається матеріальна точка|точка|. Матеріальна точка|точка| здійснює|скоює,чинить| складний рух. Рух точки|точки| відносно|відносно| нерухомої системи відліку є|з'являється,являється| абсолютним. Рухому|жваву,рухливу| систему відліку жорстко пов'яжемо з диском, що обертається, одну з осей (наприклад, x) направимо|спрямовуватимемо,скеровуватимемо| уздовж|вздовж,уподовж| канавки. Рух точки|точки| уздовж|вздовж,уподовж| осі x буде відносним, рух точки|точки| разом з рухомою|жвавою,рухливою| системою відліку (разом з диском) буде переносним рухом.

Складання швидкостей

В изначимо швидкість абсолютного руху точки|точки| М, якщо відомі швидкості абсолютного і переносного рухів цієї точки(рисунок 5-4)|точки|.

Рисунок 5-4

За малий проміжок часу уздовж|вздовж,уподовж| траєкторії точка М зробить|вчинить| відносне переміщення, визначуване вектором . Сама крива, рухаючись|сунути| разом з рухомими|жвавими,рухливими| осями, перейде за той же проміжок часу в нове положення|становище| . Одночасно та точка кривої, з|із| якою співпадала|збігалася| точка М зробить|вчинить| переносне переміщення . В результаті точка|точка| зробить|вчинить| переміщення .

Ділячи обидві частини|частки| рівності на і переходячи до межі, отримаємо|одержуватимемо|

Складання прискорень при поступальній переносній ході

Визначимо прискорення абсолютного руху точки|точки| в окремому випадку поступальної переносної ходи.

Справедлива теорема . Якщо рухома|жвава,рухлива| система відліку рухається|суне| поступально відносно|відносно| нерухомої Охyz, то всі точки тіла, що скріпляються з|із| цією системою, мають однакові швидкості і прискорення, рівні швидкості і прискоренню початку координат рухомої|жвавої,рухливої| системи О. Отже, для швидкості і прискорення переносного руху маємо

,

Виразимо|виказуватимемо,висловлюватимемо| відносну швидкість в декартових координатах

Підставляючи в теорему про складання швидкостей значення переносної і відносної швидкостей, отримуємо|одержуємо|

За визначенням

, , .

Отже

Абсолютне прискорення точки|точки| при поступальній переносній ході дорівнює векторній сумі прискорень переносного і відносного рухів.

.

Остаточне абсолютне прискорення можна визначити як результат складання переносного, відносного і кориолисова прискорень:

.

Прискорення Коріоліса з'являється по наступних причинах:

• із-за зміни переносній швидкості у відносному русі (рисунок 5-5 а)

• із-за зміни відносній швидкості в переносному русі (рисунок 5-5 б).

.

Рисунок 5-5

Розглянемо докладніше алгоритм обчислення кориолисова прискорення. З визначення векторного твору виходить, що вектор прискорення Коріоліса направлений перпендикулярно векторам — співмножникам і причому обертання першого з них вироблюване по найкоротшому шляху до другого співмножника повинно спостерігатися з вістря вектора-результату що відбувається в напрямі проти годинникової стрілки.

Модуль прискорення Коріоліса визначається по формулі:

і, отже, в наступних випадках:

	при переносній поступальній ході;
	при відносному спокої;
	у тому випадку, коли кут між векторами відносної швидкості і переносної кутової швидкості рівний 0 або 180 градусів.