Лекція 4
Короткий зміст|вміст,утримання|: Завдання|задачі| кінематики твердого тіла. Види руху твердого тіла. Число мір свободи твердого тіла. Поступальна хода твердого тіла. Обертання твердого тіла навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі. Кутова швидкість і кутове прискорення твердого тіла.
Кінематика твердого тіла
Абсолютно твердим тілом називається матеріальне тіло, геометрична форма якого і розміри не змінюються ні при яких механічних діях з боку інших тіл, а відстань між будь-якими двома його точками|точками| залишається постійним.
Кінематика твердого тіла, також як і динаміка твердого тіла, є|з'являється,являється| одним з найбільш важких|скрутних| розділів курсу теоретичної механіки.
Завдання|задачі| кінематики твердого тіла розпадаються на дві частини|частки|:
Завдання|задавання| руху і визначення кінематичних характеристик руху тіла в цілому|загалом|;
Визначення кінематичних характеристик (траєкторія, швидкість і прискорення) руху окремих точок тіла.
Існує п'ять видів руху твердого тіла:
Поступальна хода;
Обертання навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі;
Плоский рух;
Обертання навколо|навкруг,довкола| нерухомої точки|точки|;
Вільний рух.
Перші два називаються простими рухами твердого тіла.
Міри свободи твердого тіла
Числом мір свободи твердого тіла називається число незалежних параметрів, які однозначно визначають положення|становище| тіла в просторі відносно|відносно| даної системи відліку.
Р
ух
твердого тіла багато в чому залежить
від числа його мір свободи (рисунок
4-1).
Рисунок 4-1
Поступальна хода твердого тіла
Поступальною ходою твердого тіла називається такий його рух, при якому будь-яка пряма, що жорстко скріплена з|із| тілом залишається паралельною своєму первинному положенню|становищу| в кожен момент часу.
П
оступально
рухаються|сунуть|
педалі велосипеда відносно|відносно|
його рами під час руху, поршні в циліндрах
двигуна внутрішнього згорання|згоряти|
відносно|відносно|
циліндрів, кабіни колеса огляду в парках
відносно|відносно|
Землі(рисунок 4-4)|грунту|.
Траєкторії точок|точок| у|біля,в| поступально рухомого твердого тіла можуть бути не тільки|не лише| прямими, але і кривими, зокрема колами.
Рисунок 4-4
Теорема. При поступальній ході твердого тіла траєкторії, швидкості і прискорення всіх точок твердого тіла однакові.
Я
кщо
вибрати дві точки твердого тіла А і
В(рисунок 4-5), то радіус-вектори цих
точок|точок|
пов'язані співвідношенням
.
Траєкторія точки|точки|
А - це крива, яка задається функцією
,
а траєкторія точки|точки|
В - це крива, яка задається функцією
.
Траєкторія точки|точки|
В утворюється перенесенням|переносом|
траєкторії точки|точки|
А в просторі уздовж|вздовж,уподовж|
вектора
,
який не міняє|змінює,замінює|
своєї величини і напряму|направлення|
в часі. Отже,
траєкторії всіх точок твердого тіла
однакові.
Візьмемо диференціал за часом виразу:|вираження| , отримуємо
|одержуємо|
,
оскільки|тому
що|
.
Візьмемо
диференціал за часом швидкості і
отримаємо|одержуватимемо|
вираз|вираження|
.
Рисунок 4-5
Отже, швидкості і прискорення всіх точок твердого тіла однакові. Що і потрібно було довести.
Поступальна хода твердого тіла повністю|цілком| характеризується рухом однієї будь-якої його точки|точки|.
Тверде тіло при поступальній ході має три міри свободи.
Для
завдання|задавання|
руху твердого тіла в декартовій системі
координат досить знати координати
будь-якої його точки.
Функції називаються рівняннями поступальної ходи твердого тіла.
Обертання твердого тіла навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі
Обертанням твердого тіла навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі називається такий його рух, при якому дві точки тіла залишаються нерухомими протягом всього часу руху(рисунок 4-6). При цьому також залишаються нерухомими всі точки|точки| тіла, розташовані|схильні| на прямій, що проходить через його нерухомі точки|точки|. Ця пряма називається віссю обертання тіла.
Н
ехай|нехай|
точки A і B нерухомі. Уздовж|вздовж,уподовж|
осі обертання направимо|спрямовуватимемо,скеровуватимемо|
вісь
.
Через вісь обертання проведемо нерухому
площину|плоскість|
і рухому П|жваву,рухливу|,
таку, що скріпляє з|із|
тілом, що обертається (при
).
Рисунок 4-6
Положення|становище|
площини|плоскості|
і самого тіла визначається двогранним
кутом|рогом,кутком|
між площинами|плоскістю|
і
.
Позначимо його
.
Кут|ріг,куток|
називається кутом|рогом,кутком|
повороту тіла.
Положення|становище|
тіла відносно|відносно|
вибраної системи відліку однозначно
визначається у будь-який момент часу,
якщо задано рівняння, де
- будь-яка функція часу, що двічі
диференціюється. Це рівняння називається
рівнянням
обертання твердого тіла навколо|навкруг,довкола|
нерухомої осі.
У|біля,в| тіла, що здійснює|скоює,чинить| обертання навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі, одна міра свободи, оскільки|тому що| його положення|становище| визначається завданням|задаванням| тільки|лише| одного параметра – кута|рогу,кутка| .
Кут|ріг,куток| вважається|лічить| позитивним, якщо він відкладається проти|супроти| годинникової стрілки, і негативним|заперечним| – в протилежному напрямі|направленні|. Траєкторії точок тіла при його обертанні навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі є|з'являються,являються| кола, розташовані|схильними| в площинах, |плоскості| перпендикулярних осі обертання.
Для характеристики обертального руху твердого тіла навколо|навкруг,довкола| нерухомої осі введемо|запроваджуватимемо| поняття кутової швидкості і кутового прискорення.
Кутовою
алгебраїчною швидкістю тіла
в будь-який момент часу називається
перша похідна за часом від кута|рогу,кутка|
повороту у цей момент, тобто|цебто|
.
Кутова швидкість є|з'являється,являється| позитивною величиною при обертанні тіла проти|супроти| годинникової стрілки, оскільки|тому що| кут|ріг,куток| повороту зростає з часом, і негативною|заперечною| – при обертанні тіла за годинниковою стрілкою, тому що|бо| кут|ріг,куток| повороту при цьому убуває.
Розмірність
кутової швидкості за визначенням:
У
техніці кутова швидкість – це частота
обертання, виражена|виказувати,висловлювати|
в оборотах|зворотах,обертах|
за хвилину. За одну хвилину тіло
обернеться на кут|ріг,куток|
,,, ,
,
де n - число обертів|зворотів,обертів|
за хвилину. Розділивши цей кут|ріг,куток|
на число секунд у хвилині,
отримаємо|одержуватимемо|
Кутовим
алгебраїчним прискоренням тіла
називається
перша похідна за часом від кутової
швидкості, тобто|цебто|
друга похідна від кута|рогу,кутка|
повороту, тобто
Розмірність
кутового прискорення за визначенням:
Введемо|запроваджуватимемо| поняття векторів кутової швидкості і кутового прискорення тіла.
і
,
де
- одиничний|поодинокий|
вектор осі обертання. Вектори
і
можна зображати|змальовувати|
в будь-яких точках|точках|
осі обертання, вони є|з'являються,являються|
ковзаючими векторами.
К
утова
алгебраїчна швидкість - це проекція
вектора кутової швидкості на вісь
обертання. Кутове алгебраїчне прискорення
- це проекція вектора кутового
Рисунок 4-7
прискорення швидкості на вісь обертання(рисунок 4-7).
Якщо
при
,
то кутова алгебраїчна швидкість зростає
з часом і, отже, тіло обертається
прискорено в даний момент часу в
позитивну сторону. Напрями|направлення|
векторів
і
співпадають|збігаються|,
обидва вони направлені|спрямовані|
в позитивну сторону осі обертання
.
При
і
тіло обертається прискорено в
негативну|заперечну|
сторону. Напрями|направлення|
векторів
і
співпадають|збігаються|,
обидва вони направлені|спрямовані|
в негативну|заперечну|
сторону осі обертання
.
Якщо при , то маємо сповільнене|уповільнене| обертання в позитивну сторону. Вектори і направлені|спрямовані| в протилежні сторони.
Якщо при , то маємо сповільнене|уповільнене| обертання в негативну|заперечну| сторону. Вектори і направлені|спрямовані| в протилежні сторони.
Кутову швидкість і кутове прискорення на рисунках зображають|змальовують| дуговими стрілками навколо|навкруг,довкола| осі обертання (якщо не можна зобразити|змальовувати| вектора). Дугова стрілка для кутової швидкості вказує|вказує| напрям|направлення| обертання тіла, а дугова стрілка для кутового прискорення – напрям|направлення|, в якому збільшується кутова алгебраїчна швидкість. Для прискореного обертання дугові стрілки для кутової швидкості і кутового прискорення мають однакові напрями|направлення|, для сповільненого|уповільненого| їх напряму|направлення| - протилежні(рисунок 4-7).
Окремі випадки обертання твердого тіла