Лекція 2
Короткий зміст|вміст,утримання|: Геометричні поняття: кривизна|кривина| кривої, радіус кривизни|кривини|, осі природного тригранника. Диференціювання одиничного|поодинокого| вектора. Прискорення точки|точки| при різних способах завдання|задавання| руху. Окремі випадки руху точки|точки|.
Геометричні поняття
У точці
М кривої
лінії проведемо дотичну Мτ.
У точці М1
побудуємо|спорудимо|
дотичну
.
Між
точками М і
М1
відстань
s|.
У
загальному|спільному|
випадку просторової кривої дотичні Мτ
і
схрещуватимуться. Проводимо в точці М
пряму лінію
паралельну
.
Кут|ріг,куток|
між лініями Мτ
і Мτ2
називається кутом|рогом,кутком|
суміжності.
Кривизною|кривиною| (k) кривої в точці М називається межа, до якої прагне кут|ріг,куток| суміжності, що доводиться|припадає,приходиться| на одиницю відстані s|, при s|, прагнучому до нуля,
Рисунок 2-1
тобто
(2-1)
Радіусом кривизни|кривини| кривої p в точці М називається величина, зворотна кривизні|кривині| кривої в цій точці|точці|, тобто
(2-2)
Обчислимо|обчислятимемо,вичислятимемо| радіус кривизни|кривини| дуги кола радіусу R. Дуга кола довжиною s, що спирається|обпирається| на центральний кут|ріг,куток| , має|виказує,висловлює| залежність
Рисунок 2-2
Через
пересічні прямі М
і М
2
проводимо площину|плоскість|.
Граничне положення|становище|
цієї площини|плоскості|
при збігу в межах точок М
і М1
називається дотичною
площиною|плоскістю|
кривої в точці|точці|
М.
У разі|в разі| плоскої кривої дотична площина|плоскість| для всіх точок кривої є|з'являється,являється| сама площина|плоскість|, в якій розташована|схильна| ця крива.
Природний трикутник
П
обудуємо|спорудимо|
в точці|точці|
М кривої
лінії природні осі.
Першою природною віссю є|з'являється,являється| дотична Мτ. Її позитивний напрям|направлення| співпадає|збігається| з|із| напрямом|направленням| одиничного|поодинокого| вектора .
Перпендикулярно
дотичній Мτ розташовується
нормальна
площина|плоскість|
кривої. Нормаль,
розташована|схильна|
в дотичній площині|плоскості|
називається головною
Рисунок 2-3
нормаллю.
По головній нормалі Мn
всередину угнутості
кривої направимо|спрямовуватимемо,скеровуватимемо|
одиничний|поодинокий|
вектор
.
Він визначає позитивний напрям|направлення|
другої осі. Нормаль, перпендикулярна
головній нормалі називається бінормаллю|.
Позитивний напрям|направлення|
бінормалі|
визначається одиничним|поодиноким|
вектором
.
Три взаємно перпендикулярні осі Мτ, Мn і Мb називаються природними осями кривої. Ці осі утворюють в точці М природний тригранник.
Диференціювання одиничного|поодинокого| вектора
Обчислення|підрахунок|
похідної від одиничного|поодинокого|
вектора
за часом дає наступний|такий|
результат
. Радіус
кривизни|кривини|
вважаємо|лічимо|
позитивним.
Одиничний|поодинокий| вектор перпендикулярний вектору, направленому| по дотичній до кривої і лежить в дотичній площині|плоскості|. Вектор направлений|спрямований| по головній нормалі кривої у бік її угнутості.
Прискорення точки|точки|
Х
ай|нехай|
рухома точка М
у момент часу має швидкість
.
У інший момент часу
ця точка|точка|
займатиме|позичатиме,посідатиме|
положення|становище|
М1
і матиме швидкість
.
Щоб|аби|
зобразити|змальовувати|
прирощення|
швидкості
за час
,
перенесемо вектор
паралельно самому собі в точку М.
Рисунок 2-3
Середнім
прискоренням точки|точки|
за час
називається відношення|ставлення|
вектора приросту швидкості
до зміни часу
.
(2-3)
Прискоренням
точки|точки|
в момент часу
називається межа, до якої прагне середнє
прискорення при
,
яке прагне до нуля. Прискорення
точки|точки|
дорівнює першій похідній за часом від
швидкості точки|точки|
або другій похідній за часом від
радіус-вектора.
(2-4)
Прискорення точки|точки| в декартових координатах
Розкладемо прискорення і швидкість точки|точки| на складові, паралельні осям декартової системи координат.
Отримаємо|одержуватимемо|
(2-5)
Після|потім| диференціювання
(2-6)
Звідси слідує|прямує|
(2-7)
Проекція прискорення точки|точки| на будь-яку координатну вісь дорівнює другій похідній за часом від відповідної координати цієї точки.
Модуль прискорення і направляючі|спрямовувати,скеровувати| косинуси дорівнюють:
(2-8)
(2-9)
Якщо точка|точка| рухається|суне| в площині|плоскості|, то, вибравши осі координат Oх| і Oу| в цій площині|плоскості|, отримаємо|одержуватимемо|:
Для прямолінійного руху точки|точки| координатну вісь, наприклад вісь Oх|, направляємо|спрямовуємо,скеровуємо| по траєкторії. Тоді
Прискорення точки|точки| при природному способі завдання|задавання| руху
Швидкість
точки|точки|
дорівнює
.
Відповідно до визначення прискорення
,
або 
(2-10)
Таким чином отримане|одержувати| розкладання вектора прискорення точки|точки| по осях природного трикутника.
Частина|частка|
прискорення
(2-11)
називається дотичною складовою прискорення.
Інша
частина|частка|
прискорення
(2-12)
називається нормальною складовою прискорення. Вона направлена|спрямована| всередину угнутості траєкторії, тобто у бік позитивного напряму|направлення| одиничного|поодинокого| вектора головної нормалі .
Формули для проекції прискорення на природні осі:
Дотична
складова
при
направлена|спрямована|
за напрямом|направленню|
вектора
,
при
протилежно
.
Обчислення|підрахунок| проекцій прискорення точки|точки| на природні осі
Нехай|нехай|
рух точки|точки|
заданий в координатній формі. Проекція
прискорення на дотичну до траєкторії
дорівнює
,
алгебраїчна швидкість з точністю до|із
точністю до| знаку
дорівнює модулю швидкості
,
а модуль швидкості дорівнює
.
Обчислимо|обчислятимемо,вичислятимемо|
першу похідну за часом від цього виразу,
отримаємо|одержуватимемо|
Проекція
прискорення на нормаль до траєкторії
дорівнює
.
Радіус
кривизни|кривини|
траєкторії в поточній точці|точці|
дорівнює
.
Окремі випадки руху точки|точки|