7. Практическое задание № 3.

Составить развозочный маршрут по критерию минимального пробега автомобиля. Автомобиль отправляется из пункта А и после объезда пунктов Б, В, Г, Д, Е, Ж возвращается в пункт А.

Таблица 7.1 - Исходные данные для задания №3

Вари-	Координаты пунктов
ант	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж
1	1; 1	3; 5	3; 3	5; 2	9; 7	7; 3	5; 5
2	4; 1	3; 5	6; 3	2; 2	1; 7	7; 4	3; 5
3	3; 5	1; 2	5; 3	3; 9	3; 3	7; 3	8; 2
4	2; 2	1; 7	7; 4	3; 5	3; 9	1; 2	5; 3
5	2; 4	1; 1	3; 5	5; 3	3; 9	1; 3	5; 4
6	1; 7	5; 3	3; 5	3; 9	1; 2	5; 3	3; 3
7	3; 3	5; 2	9; 7	4; 1	6; 3	1; 1	3; 5
8	6; 3	2; 2	1; 7	7; 4	1; 1	4; 1	3; 5
9	5; 3	3; 9	3; 3	7; 4	1; 1	3; 5	1; 2
10	1; 4	7; 1	1; 5	7; 4	3; 5	2; 2	1; 7
11	1; 8	3; 5	5; 3	7; 3	8; 2	2; 4	1; 1
12	1; 3	3; 5	6; 9	3; 2	5; 9	5; 7	5; 3
13	9; 7	7; 3	5; 5	1; 1	3; 5	3; 3	5; 2
14	1; 7	7; 4	3; 5	4; 1	3; 5	6; 3	2; 2
15	3; 3	7; 3	8; 2	3; 5	1; 2	5; 3	3; 9
16	3; 9	1; 2	5; 3	2; 2	1; 7	7; 4	3; 5
17	3; 9	1; 3	5; 4	2; 4	1; 1	3; 5	5; 3
18	1; 2	5; 3	3; 3	1; 7	5; 3	3; 5	3; 9
19	6; 3	1; 1	3; 5	3; 3	5; 2	9; 7	4; 1
20	3; 7	7; 8	4; 1	6; 3	2; 2	1; 7	7; 4

Методические указания к заданию № 3

Данная задача носит название «задача «коммивояжера».

Она формулируется следующим образом: имеются n + 1 пунктов (i = 0, 1, ..., n) с заданными расстоя­ниями d_ik между i-м и k-м пунктами. Составить оптималь­ный маршрут из условия минимизации суммарного пробега для машины, выходящей из «нулевого» пункта, которая должна побывать в каждом пункте по одному и только одному разу и вернуться в «нулевой» пункт.

Решение. Введем n² альтернативных переменных x_ik, принимающих значение 0, если переезд из i-го пункта в k-й не входит в маршрут, и 1 в противоположном случае. Условия прибытия машины в каждый пункт и выезда из каждого пункта только по одному разу могут быть выражены равенствами

(4)

Однако необходимо обеспечить «непрерывность» маршрута, т.е. чтобы набор «звеньев» (i,k), для которых x_ik = 1 (т.е. звеньев, входящих в маршрут) образовал единую цепочку (например, при n = 7 цепочка (0, 1) — (1 , 5) — (5, 3) — (3, 7) — (7, 4) — (4, 2) — (2, 6) — (6, 0), а не состоял бы из отдельных не связанных цепочек (например, (0, 1) - (1, 5) - (5, 0) и (2, 7) - (7, 6) - (6, 4) - (4, 3) - (3, 2)]. Это условие можно обеспечить введением дополнительных n переменных u_i > 0 (i = 0, ..., n) и дополнительных n² ограничений

n∙x_ik + u_i - u_k ≤ n-1. (5)

Действительно, пусть маршрут включает несколько цепочек. Тогда существует цепочка, начинающаяся и заканчивающаяся в «нулевом» пункте, но охватывающая n₁ звеньев, где n₁ < n. Просуммировав неравенства вдоль такой цепочки (т.е. при x_ik = 1), получим бессмысленное неравенство n₁∙n ≤ n₁∙(n-1) (все u_i и u_k при суммировании взаимно уничтожаются).

Суммарная длина пробега машины z, которую необходимо минимизировать, запишется в виде

z = d_ik∙x_ik. (6)

В результате приходим к следующей модели частично целочисленной задачи: минимизировать z при условиях (4), (5), условиях неотрицательности x_ik ≥ 0 (i = 0, ..., n; k = 0, ..., n) и u_i ≥ 0 (i = 0, ..., n) и целочисленности всех переменных x_ik.