
- •Классификация случайных процессов
- •Законы распределения
- •Основные положения ковариационной теории
- •Корреляционная функция
- •Стационарность и эргодичность процессов
- •Спектральная плотность мощности случайного процесса
- •Теорема Винера – Хинчина
- •Узкополосный случайный процесс
- •Прохождение случайного сигнала через линейные цепи с постоянными параметрами
- •Спектральная характеристика мощности и корреляционная функция случайного процесса на входе цепи
- •Гармонические колебания со случайной амплитудой
- •Гармонические колебания со случайной фазой
- •Нормирование случайный процессов в узкополосных линейных цепях
- •Комплексный случайный процесс
- •Преобразование нормального процесса в безынерционных нелинейных цепях
- •Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор
- •Совместное воздействие гармонического сигнала и гаусовского шума на амплитудный детектор
- •Совместное влияние гармонического сигнала и нормального шума на частотный детектор
- •Принцип оптимальной фильтрации сигнала на фоне помех
- •Передаточная характеристика оптимального (согласованного) фильтра
- •Импульсная характеристика согласованного фильтра
- •Оценка реализуемости согласованного фильтра.
- •Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра.
- •Примеры построения согласованных фильтров.
- •1.Согласованный фильтр для прямоугольного импульса.
- •Фильтр согласованный с лчм сигналом.
- •Фильтрация сигнала при небелом шуме
- •Формирование сигнала сопряженного с заданным фильтром
Нормирование случайный процессов в узкополосных линейных цепях
Пусть на входе линейной цепи действует стационарный случайный процесс с распределением отличным от нормального. Если интервал корреляции этого процесса меньше постоянной времени линейной цепи (т. е. ширина энергетического спектра больше полосы пропускания цепи), то распределение случайного процесса на выходе приближается к нормальному. Эффект нормализации тем выше, чем меньше полоса пропускания цепи.
В широкополосных линейных цепях при некоторых условиях происходит обратный процесс денормализация т. е. нормальный процесс на входе порождает случайный процесс на выходе отличный от нормального.
Но такое отличие только в частности, в целом же если рассматривать бесконечное число импульсов, то процесс остается нормальным.
Комплексный случайный процесс
Пусть есть случайный процесс x(t).
Подберем ему сопряженный по Гильберту
сигнал x1(t)
(
.
Тогда комплексный случайный процесс:
.
П
усть
,
тогда
.
Отсюда комплексный случайный процесс:
.
Спектры сигналов x(t)
и x1(t)
равны:
.
Отсюда следует, что корреляционные
функции одинаковы
.
Дисперсии:
.
Предположим, что
соответствует
,
тогда
,
где
.
Т. е.
Отсюда следует, что при w>0
,
а при w<0
.
Вывод: спектр случайного сигнала отличен от 0 только на положительных частотах.
Преобразование нормального процесса в безынерционных нелинейных цепях
В нелинейных безынерционных элементах основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. Поэтому общих методов анализа преобразования случайный процессов в нелинейных устройствах не существует. Приходится ограничиваться частными задачами поддающимися решению.
Пусть на нелинейный элемент действует
случайное колебание с заданной плотностью
вероятности p(x).
Требуется найти плотность вероятности
выходной величины y
p(y). Связь между x
и y
определяется нелинейной зависимостью
y=f(x).
Для безынерционного элемента очевидно
соотношение:
,
откуда вытекает
.
Если обратная функция х=j(у)
неоднозначна, то
Нахождение р(у) проще пояснить на конкретных примерах.
Воздействие гаусовского процесса на элемент с
симметричной квадратичной характеристикой
)
найдем
Подставляя данные в выражение получим:
Воздействие нормально распределенного процесса на
однополупериодный детектор с линейно ломаной характеристикой
Плотность распределения вероятности в этом случае:
Плотность вероятности р(у=0)=¥, так как у=0 при х меньше 0. Это можно учесть записав следующее выражение для р(у):
Первое слагаемое будет всюду равно 0, кроме точки у=0, где оно обращается в бесконечность. При интегрировании же по у это слагаемое дает 1/2.
Воздействие нормально распределенного
процесса на ограничитель
По аналогии с предыдущим случаем составим выражение:
Преобразование спектра случайного процесса
в безынерционном нелинейном элементе
Непосредственно по формулам определить спектр на выходе по известному спектру на входе невозможно, нужно сначала находить корреляционную функцию на выходе и применить обратное преобразование Фурье.
Если на входе есть нелинейная функция, то можно найти ее ковариационную функцию:
.
Если известна двумерная плотность
вероятности входного процесса, то:
.
Этот интеграл довольно трудно вычислять, поэтому прибегают к различным упрощениям.
Пример: пусть у=ах2. Двумерная плотность вероятности процесса x(t) равна:
,
где rx=rx(t)
– нормированная корреляционная
функция входного процесса.
Проделав необходимые преобразования
и использовав соотношение
прейдем к выражению:
.
Пусть x(t)
узкополосный процесс, тогда, учитывая,
что
,
где r0
– огибающая корреляционной функции
узкополосного процесса, запишем
окончательное выражение:
.
Применим теперь прямое преобразование Фурье и получим выражение для энергетического спектра процесса на выходе элемента:
Первое
слагаемое (дискретное соответствует
постоянной составляющей выходного
колебания, второе – низкочастотной
составляющей спектр которой примыкает
к нулевой частоте, третье – высокочастотной
составляющей со спектром, группирующимся
вблизи частоты 2w0.
Вывод: Спектр на выходе существенно отличается от спектра на входе и имеет 3 составляющих.