Спектральная плотность мощности случайного процесса

Спектральная плотность сигнала может быть определена только для постоянного процесса. Для случайного процесса это невозможно поэтому используют спектральную плотность мощности.

Пусть имеется k-ая реализация случайного процесса Х_К(t). Ограничим ее отрезком времени Т. Теперь это усеченная k-ая реализация Х_КТ(t). Найдем спектральную плотность Х_КТ(w) для Х_КТ(t). Отсюда энергия на рассматриваемом участке по равенству Парсеваля:

Получим среднюю мощность реализации на отрезке Т поделив выражение на Т:

При увеличении Т энергия возрастает, но отношение Э_КТ / Т остается постоянным.

О тсюда –– спектральная плотность мощности. Это предел спектральной плотности усеченной реализации деленной на время Т. Это запись для эргодического процесса.

–– среднее значение квадрата процесса.

Если , то .

Теорема Винера – Хинчина

Это есть соотношение между энергетическим спектром и корреляционной функцией случайного процесса.

Это прямое и обратное преобразование Фурье, соответственно.

При

Узкополосный случайный процесс

Узкополосный процесс – это когда отношение эффективной ширины спектра к средней частоте узкополосного процесса много меньше 1

Реализация случайного процесса: , где A(t) и q(t) случайные величины.

Огибающая этого случайного процесса , где х’²(t) – сопряженный по Гильберту сигнал.

Будем считать, что x(t) случайный стационарны эргодический процесс.

Представим сигнал в виде квадратурных составляющих:

Отсюда: , .

Нам известна плотность распределения сигнала. Попытаемся найти плотности распределения огибающей (Р_А(А)) и фазы (Р_q(q)) узкополосного процесса.

Если сравнить 2 процесса А_С(t) и x(t), то можно заметить, что x(t) получается сдвигом на w₀. Это говорит о том, что случайное распределение процесса остается низменным. Спектр W_ac(W₀) получают из спектра процесса x(t) сдвигом на w₀ левой составляющей и на - w₀ правой составляющей, причем . Из этого выражения и рисунка видно, что площадь под кривой W_х(w) (в двух лепестках) равна площади под кривой W_Ac(W). Следовательно, дисперсии случайных процессов одинаковы:

Так как , то среднее значение квадрата огибающей . Так как дисперсии равны, то . Отсюда вытекает, что плотности вероятностей определяются как

Математическое ожидание от квадрата случайного процесса: Т. е. величины А_С(t) и А_S(t) независимые. Поэтому совместную плотность вероятности можно определить выражением:

Вероятность того, что конец вектора A(t) лежит в элементарном прямоугольнике dA_cdA_s равна вероятности пребывания A_c в интервале dA_c и A_s в интервале dA_s.

P(A_c)P(A_s)dA_cdA_s – вероятность того, что вектор A(t) пребывает в элементарном прямоугольнике. В полярных координатах: P(A_c)P(A_s)АdAdq.

Плотность распределения амплитуды и фазы:

Плотность распределения огибающей (амплитуды): ,

т. е. –– это релеевский закон распределения.

Вывод: если случайный процесс распределен по нормальному закону, то его огибающая распределена по релеевскому закону, а фаза по равномерному закону ( ).

Математическое ожидание:

Дисперсия: ,

где

отсюда .

Т. е. дисперсия огибающей меньше дисперсии самого случайного процесса.

Вероятность того, что огибающая (амплитуда) превысит некоторый заданный уровень:

Вероятность того, что амплитуда будет ниже уровня С: .

Если , то . Поэтому ширина шумовой дорожки фактически наблюдаемой на экране осциллографа не превышает (5-6)s_х. Для широкополосных процессов ширина дорожки составляет (4-5)s_х.

Корреляционная функция огибающей определяется по формуле:

где r₀(t) – огибающая нормированной корреляционной функции случайного процесса х(t).

Энергетический спектр огибающей найдем через преобразование Фурье:

. Первое слагаемое соответствует постоянной составляющей огибающей, а второе – сплошной части спектра.

Основываясь на выражении , мгновенную частоту шума можно записать в форме:

Плотность вероятности:

где Dw_экв – эквивалентная ширина спектра узкополосного процесса, определяемая выражением:

Частота случайного сигнала ходит в пределах ±2 эквивалентных ширины спектра.

Закон распределения похож на нормальный закон.