10.3. Теорії подібності.

Для аналітичного методу дослідження конвективного теплообміну потрібно вирішити систему диференціальних рівнянь, що складає з: 1). Рівняння енергії (закон збереження енергії):

2). Рівняння руху (імпульсу):

3). Рівняння нерозривності (закон збереження маси):

4). Рівняння теплообміну (умова теплообміну на границі твердого тіла і середовища):

α = -λ/Δt· ∂t / ∂r _n=0 . (10.4)

Дані рівняння записуються для нестисливої рідини (V = сonst).

Рішення цих диференціальних рівнянь складна і трудомістка задача, і вона можлива при обмежених простих випадків.

Тому при дослідженні конвективного теплообміну застосовують метод теорії подібності.

Теорія подібності – це наука про подібні явища. Подібними явищами називаються такі фізичні явища, що однакові якісно за формою і по змісту, тобто мають одну фізичну природу, розвиваються під дією однакових сил і описуються однаковими за формою диференціальними рівняннями і крайовими умовами.

Обов'язковою умовою подібності фізичних явищ повинне бути геометрична подібність систем, де ці явища протікають. Два фізичних явища будуть подібні лише в тому випадку, якщо будуть подібні усі величини, що характеризують їх.

Для всіх подібних систем існують безрозмірні комплекси величин, що називаються критеріями подібності.

Основні положення теорії подібності формулюють у виді 3-х теорем подібності. 1 теорема:

Подібні явища мають однакові критерії подібності. 2 теорема:

Будь-яка залежність між змінними, що характеризує які-небудь явища, може бути представлена, у формі залежності між критеріями подобності, складеними з цих перемінних, котра буде називатися критеріальним рівнянням. 3 теорема:

Два явища подібні, якщо вони мають подібні умови однозначності і чисельно однакові визначальні критерії подібності. Умовами однозначності є:

• наявність геометричної подоби систем;

• наявність однакових диференціальних рівнянь;

• існування єдиного рішення рівняння і заданих граничних умовах;

• відомі чисельні значення коефіцієнтів і фізичних параметрів.

10.4. Критеріальні рівняння конвективного теплообміну.

Використовуючи теорію подоби із системи диференціальних рівнянь можна одержати рівняння тепловіддачі (10.3) для конвективного теплообміну у випадку відсутності внутрішніх джерел тепла в наступній критеріальной формі:

Nu = f₂(Х; Ф; X₀; Y₀; Z₀; Re; Gr; Pr) , (10.5)

де:

X₀; Y₀; Z₀ – безрозмірні координати; Nu = α ·l₀/λ - критерій Нуссельта (безрозмірний коефіцієнт тепловіддачі), характеризує теплообмін між поверхнею стінки і рідиною (газом); Re = w·l₀/ν - критерій Рейнольдса, характеризує співвідношення сил інерції і в'язкості і визначає характер плину рідини (газу); Gr = (β·g·l₀³·Δt)/ν² - критерій Грасгофа, характеризує підємну силу, що виникає в рідині (газі) унаслідок різниці густин; Pr = ν/а = (μ·c_p)/λ - критерій Прандтля, характеризує фізичні властивості рідини (газу); l₀ – визначальний розмір (довжина, висота, діаметр).