- •Опорный конспект, второй семестр (дополнение) обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Интегрируемые оду первого и второго порядков
- •Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Численное решение задачи Коши для оду
- •Функциональные преобразователи и схемы
- •Опр Логические формулы называются равносильными, если соответствующие им булевы функции совпадают.
- •Замечание (свойства унарных и бинарных операций):
- •Глава 4
- •Глава 6
- •Вопросы к первому блоку, 2011-2012 уч. Год, утс-11, уэл-11, уба-11,12
- •Вопросы ко второму блоку, 2011-2012 уч.Год
- •Типы задач для экзамена
Глава 4
ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение Лучом в с естественным базисом, выходящим из точки , с направляющим вектором называется множество .
Определение Шаром с центром в точке и радиусом ( -окрестностью точки ) называется множество
.
Определение Множество называется открытым, если каждая точка входит в него вместе с некоторой своей окрестностью .
Определение Множество называется замкнутым, если его дополнение является открытым множеством.Множество - называется замкнутым шаром и является замкнутым множеством.
Определение Множество в называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре .
Определение Пусть множество . Отображение , ставящее в соответствие каждой точке точку , называется отображением от переменных .
Определение Отображение называется функцией от переменны.
Квадратичная форма является функцией от переменных, точнее однородным многочленом второго порядка от переменных.
Булева функция это функция с тремя двоичными переменными , областью определения и областью значений .
Определение Отображение определяет и вполне определяется функциями от переменных по правилу
.
Функции называются координатными.
О пределение Пусть . - линией уровня функ ции называется множество точек .
Определение Пусть . - поверхностью уровня функции называется множество точек
.
____
Определение Пусть - предельная точка множества и отображение . Точка называется пределом
отображения при , если
.
ЗАМЕЧАНИЕ Определения предельной точки и предела являются прямым обобщением соответствующих определений в одномерном случае.
Обозначение . Если определены в окрестности точки , то индекс в обозначениях опускают.
Определение Пусть отображение определено в окрестности точки и задан луч . Говорят, что имеет предел в точке по направлению , если существует конечный предел
.
ТЕОРЕМА 4.1 (свойства пределов)
1) . 2) Если , - предельная точка и существует , то .
3) Если предел в точке M существует, то он единственен.
4) .
5) .
6) , если предел знаменателя не равен 0.
_____
Определение Пусть и является его предельной точкой. Отображение называется непрерывным в точке , если существует предел .
Определение Отображение называется непрерывным на множестве, если оно непрерывно в каждой точке множества.
Определение Пусть даны переменная точка и фикси рованная точка . Полным приращением переменной в точке называется вектор , а полным приращением отображения в точке называется вектор .
Определение Для точки только с -ой переменной координатой соответствующий вектор называется частичным приращением отображения в точке по переменной .
ТЕОРЕМА 4.2 (свойства непрерывных отображений)
1) Отображение непрерывно в точке тогда и только
тогда, когда его координатные функции , непрерывны
в этой точке.
2) Отображение непрерывно в точке тогда и только тогда, когда
.
3) Если непрерывно в точке , то оно непрерывно в этой точке
по каждой переменной, Обратное утверждение, вообще говоря,
неверно.
4) Если функции непрерывны в точке , то их линейная
комбинация , произведение и частное непрерывны
в этой точке, в последнем случае при условии .
5) Пусть отображение непрерывно в точке и
. Если отображение непрерывно в точке
, тогда композиция отображений непрерывна в
точке .
6) Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция
достигает на этом множестве своих наибольшего и наименьшего
значений.
_____
Определение Пусть отображение определено в окрестно сти точки . Оно называется дифференцируемым в точке , если полное приращение в этой точке представимо в виде , где - линейный оператор, определяемый отображением и точкой , , а отображение определено на окрестности точки и обладает свойством .
ЗАМЕЧАНИЕ Полное приращение отображения в координатной форме имеет вид ,
где . Матрица имеет размер и называется матрицей Якоби отображения в точке .
Замечание позволяет дать такое
Определение Пусть функция определено в окрестности точки . Она называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке представимо в виде
,
где - некоторые числа, а функция обладает свойством
Определение Если отображение дифференцируемо в точке , то слагаемое называется дифференциалом (главной частью приращения ) отображения в точке . Линейный оператор называется производной отображения в точке .
ЗАМЕЧАНИЕ В частном случае функции
есть дифференциал функции в точке .
Определение Пусть функция определена в окрестности точки , и - единичный вектор в , задан ный своими направляющими косинусами ( . Производной функции в точке по направлению называется конечный предел , если он существует.
Определение Пусть функция определена в окрестности точки . Частной производной функции в точке по переменной называется конечный предел , если он существует.
Определение Если функция имеет частные производные по
всем переменным в точке , то ее градиентом в точке называ
ется вектор .
ТЕОРЕМА 4.3 (свойства дифференцируемого отображения)
1) Отображение дифференцируемо в точке тогда и только
тогда, когда координатные функции дифференциру
емы в этой точке.
2) Если дифференцируемо в точке , то матрица Якоби
в этой точке имеет вид
.
В частности, если дифференцируема в точке , то дифферен
циал функции .
3) Если функция дифференцируема в точке , то она
дифференцируема в этой точке по каждому направлению
, и производная
.
4) Градиент функции определяет направление , произ
водная по которому будет максимальной : .
При этом в противоположном направлении производная будет
минимальной.
ЗАМЕЧАНИЕ Рассмотрим кривую в области определения
функции, в каждой точке которой касательная имеет направле
ние . Множество соответствующих точек
графика функции называется линией наискорейшего спуска. Это
объясняется тем, что для каждой точки кривой величина
спуска точки по поверхности будет
наибольшей при движении по этой кривой.
_____
Определение Пусть функция определена в окрестности точки . Плоскость называется касательной плоскостью к графику функции в точке
, если для переменной точки
(Рис.4. ).
В этом случае говорят коротко, что функция имеет
касательную плоскость в точке .
Определение Если функция имеет касательную плоскость в точке , то прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к этой касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.
ЗАМЕЧАНИЕ (геометрический смысл дифференциала)
График функции имеет невертикальную ( ) касательную
плоскость в точке тогда и только тогда, когда
функция дифференцируема в точке . В этом случае
уравнение касательной плоскости имеет вид
,
а уравнение нормали к поверхности - вид
.
_____
Определение Пусть функция имеет частную производную в каждой точке некоторой окрестности. Если существует частная производная функции в точке по переменной , то в случае она обозначается и называется смешанной производной, а в случае она обозначается и называется частной производной второго порядка по переменной .
Можно доказать такое
ЗАМЕЧАНИЕ Если существуют смешанные производные
в окрестности точки и хотя бы одна из
них непрерывна в этой точке, то они совпадают. В дальнейшем
молчаливо предполагается совпадение этих производных.
ТЕОРЕМА 4.4 (о сложном отображении)
Пусть есть открытое множество в , - открытое множество в
. Пусть отображение - дифференцируемо в точке
, отображение дифференцируемо в точке
. Тогда отображение дифференцируемо в
точке и его матрица Якоби совпадает с произведением матриц
Якоби отображений в и в соответствующих точках:
.
Доказательство является обобщением соответствующего доказательства для случая функции одной переменной, и на нем мы останавливаться не будем.
Равенство называется формула полной производной. Формулы вычисления частных производных сложной функции .
_____
ТЕОРЕМА 4.5 (формула Тейлора функции двух переменных)
Пусть функция имеет непрерывные частные производ
ные до -го порядка включительно в окрестности точки
; - многочлен
Тейлора функции в окрестности точки , записанный в
символической форме. Тогда в окрестности этой точки имеет место
формула Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа
,
где .
Определение Аппроксимировать функцию на множест ве многочленом с заданной точностью - это значит найти многочлен со свойством : .
ЗАМЕЧАНИЕ Аналогичная формула Тейлора имеет место и для
функции от переменных.
_____
Для формулировки необходимых и достаточных условий локального экстремума функции нескольких переменных нам понадобится классификация квадратичных форм и некоторые ее свойства.
Определение Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если
.
Определение Квадратичная форма называется полу-
определенной, если или , причем .
Определение Квадратичная форма называется неопределенной, если .
Определение Миноры матрица квадратичной формы
называются главными минорами.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть квадратичная форма
симметричная. 1) Равносильны утверждения:
а) положительно определена;
б) (критерий Сильвестра) Все главные миноры ее матрицы
положительны;
в) все собственные числа ее матрицы положительны.
2) отрицательно определена тогда и только тогда, когда
последовательность главных миноров ее матрицы коэффициентов
знакочередующаяся:
.
3) неопределенная тогда и только тогда, когда собственные
числа ее матрицы имеют разные знаки.
Определение Матрицей Гессе функции , имеющей частные производные второго порядка, называется матрица
.
Определение точки локального экстремума естественным образом обобщается на функции нескольких переменных.
Определение Пусть функция определена на мно жестве , точка и является предельной точкой. Говорят, что является точкой локального максимума (минимума), если
.
При этом называется локальным максимумом (минимумом).
ТЕОРЕМА 4.6 (необходимое и достаточное условие локального
экстремума)
1) Если функция имеет локальный экстремум в точке
и имеет частные производные в этой точке, то
.
2) Пусть имеет непрерывные частные производные до второго
порядка включительно в точке и . Тогда:
а) если квадратичная форма
положительно определенная, то есть точка локального
минимума;
б) если отрицательно определенная, то есть точка
локального максимума;
в) если является неопределенной, то - седловая точка:
г) если полуопределенная, то нужны дополнительные
исследования.