Опорный конспект, второй семестр (дополнение) обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия

Опр Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию, независимые переменные и производные этой функции.

Пример В дифференциальном уравнении Риккати

неизвестная, а известные функции.

Опр Дифференциальное уравнением, в котором незави симых переменных более одной (одна), называется дифференциаль ным уравнением в частных производных (ДУЧП ), соответственно обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Пример Уравнение Риккати является обыкновенным, а уравнении Лапласа

, , уравнением в частных производных.

Опр Дифференциальным уравнением n-ого порядка называется ОДУ, в котором самый высокий порядок производной неизвестной функции равен .

Опр ОДУ вида называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной . ОДУ вида называется уравнением общего вида. Здесь - известные функции.

В терминах дифференциальных уравнений формулируются законы, по которым развиваются или связываются между собой процессы.

Пример (фильтр нижних частот) Так называется изображенная электрическая цепь. Здесь входным процесс сом является ЭДС источника, а выходным - падение напряжения на конденсат оре. Если - ток в цепи, то падения напряжений на сопротивлении и на емкости соответственно равны . Так как ЭДС равна сумме падений напряжений , то входной и выходной процессы связаны таким дифференциальным уравнением первого порядка .

Если выходное напряжение снимется на сопротивлении, то аналогичным образом выводится уравнение фильтра верхних частот .

Опр Решением ОДУ -ого порядка на интервале называется раз дифферен цируемая на функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождественное равенство на . График решения ОДУ называется интегральной кривой.

Пример 1 . Если – первообразная функции на , то согласно определению неопределенного интеграла множество решений этого ОДУ есть однопараметрическое семейство . Пара чисел , где , выделяют из этого семейства решений одно со свойством .

Пример 2 Применяя два раза аналогичное рассуждение к дифференциальному уравнению , получим общее решение в виде двухпараметрического семейства функций . Произвольная тройка чисел , также определяет единственное решение этого уравнения со свойством

.

КПР 1 Для ОДУ не существует решения с условием , так как по определению такое решение должно иметь производную в точке .

КПР 2 Для ОДУ с условием имеем два решения в окрестности точки .

Приведенные примеры мотивируют следующие определения.

Опр Пусть дано ОДУ ого порядка и числа . Задача нахождения решения ОДУ в окрестности точки , которое удовлетворяет равенствам , называется задачей Коши. Сами равенства называются условиями Коши, а числа - данными Коши.

Опр Общим решением ОДУ - ого порядка в окрестности точки называется функция , зависящая от параметров , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение, получаемое из общего при конкрет ных значениях параметров, называется частным.

Опр Решение ОДУ, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Таким будет решение из последнего контрпримера.

Опр Решение, заданное в виде неявной функции , и зависящее от произвольных параметров, называется общим интегралом.

Опр Проинтегрировать ОДУ в явном виде – это значит найти его общее решение в виде элементарной функции. Проинтегрировать ОДУ в квадратурах – это значит найти его общее решение в виде интегралов от элементарных функций.

Пример Дифференциальное уравнения нельзя проинте грировать в явном виде, но можно в квадратурах: .