Приклади розв`язку задач

1. Записати рівняння кола, що має центр у точці (5;-7) і проходить через точку (2;-3).

Δ Знайдемо радіус кола як відстань від центра до даної його точки

Тепер у рівняння кола (2) підставимо координати центра і величину радіуса, що знайдена

(x-5)²+(y+7)²=25 ▲

2. Знайти координати центра та радіус кола

х²+у²-4х-14у+17=0

Δ Перепишемо дане рівняння так:

х²-4х+4+у²-14у+49+17-4-49=0

або

(х-2)²+(у-7)²=36

Порівнюючи це рівняння з рівнянням кола (2) одержимо: a=2, b=7, r=6. Отже, центр кола знаходиться в точці (2;7), радіус його дорівнює 6. ▲

3. Знайти рівняння еліпса, фокусами якого є точки F₁(0;0) та F₂(0;8), а велика піввісь а=5.

Δ Відстані від точки М(х;у) еліпса до фокусів дорівнюють відповідно та . Згідно означення еліпса маємо, що

+ =10

Спрощуючи це рівняння, одержимо

Виділимо повний квадрат відносно «у»

25х²+9(у²-8у+16)=225

Поділимо на 225 і одержимо канонічне рівняння еліпса:

Осями симетрії такого еліпса будуть лінії х=0 та у=4, велика піввісь а=5, мала піввісь b=3. ▲

4. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 8, а мала піввісь b=3.

Δ За умовою задачі 2с=8, b=3. із співвідношення знаходимо . Отже, рівняння еліпса має вигляд

▲

5. Обчислити напівосі гіперболи, якщо директриси задані рівняннями і кут між асимптотами прямий.

Δ Директриси зв`язані з напівосями гіперболи формулами

a, b - напівосі гіперболи. Рівняння асимптот та .

Згідно умови задачі одержимо систему двох рівнянь

Звідси , отже і b=6. ▲

6. Написати рівняння параболи, що проходить через точки (0;0) та (1;-2) і симетричної відносно осі Ох.

Δ Рівняння параболи, що проходить через точку (0;0) симетрично відносно осі Ох має вигляд у²=2рх.

Згідно умови, що парабола проходить через точку (1;-2), одержуємо (-2)²=2р.

Звідси .

Тобто, шукане рівняння параболи буде мати вигляд у²=4х. ▲

Задачі для самостійної роботи

І РІВЕНЬ

1. Скласти канонічне рівняння параболи, яка проходить через точку М₀(9;6).

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 16, а велика піввісь a=10.

3. Скласти рівняння кола з центром в точці з координатами (1;2) та такого, що проходить через точку з координатами (-3;-4).

4. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться на початку координат, якщо вона розташована симетрично відносно Ох та проходить через точку А(3;6).

5. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться на початку координат, якщо вона розташована в верхній півплощині симетрично Оу з параметром р=2.

6.Знайти координати фокуса і скласти рівняння директриси параболи

7. Побудувати гіперболу

8. Для поданого рівняння кола знайти координати його центра і радіуса:

9. Записати рівняння кола, якщо кінці його діаметра містяться у точках А(-3;-1) і В(1;5).

10. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого на осі Ох, якщо він проходить через точки .

11. Знайти координати вершин, фокусів, півосі і ексцентриситет еліпса .

12. Які з точок А(13;0), В(5; ), С(0;5), D( ;4) лежать на еліпсі ?

13. Знайти осі, вершини, фокуси, ексцентриситет і рівняння асимптот гіперболи . Побудувати гіперболу та її асимптоти.

14. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі Oх, якщо і .

15. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі Oх, якщо і .

16. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі Oх, якщо рівняння асимптот і .

17. Скласти канонічне рівняння гіперболи, дійсна вісь якої лежить на осі Ох, якщо гіпербола проходить через точки М₁( ;-1) і М₂(-3; ).

18. Скласти канонічне рівняння параболи з фокусом в точці: а) F(2;0); б) F(0;-6).

19. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо відстань між його фокусами дорівнює 16 і ексцентриситет .

20. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо його велика вісь дорівнює 10, а ексцентриситет .

21. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо його мала піввісь дорівнює 10, а ексцентриситет .

22. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо відстань між його директрисами дорівнює 10 і відстань між фокусами 2с=8.

23. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо його велика вісь дорівнює 8, а відстань між директрисами дорівнює 16.

24. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо його мала вісь дорівнює 4, відстань між директрисами дорівнює 10.

25. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо відстань між його директрисами дорівнює 16 і .

ІІ РІВЕНЬ

1. Написати рівняння еліпса, фокуси якого містяться на осі ординат симетрично відносно початку координат, знаючи, крім цього, що відстань між його директрисами дорівнює і ексцентриситет .

2. Обчислити площу чотирикутника, дві вершини якого містяться в фокусах еліпса , а дві інші збігаються з кінцями його малої осі.

3. Еліпс дотикається осі абсцис в точці А(3;0) і осі ординат в точці В(0;-4). Написати рівняння цього еліпса, знаючи, що його осі симетрії паралельні до осей координат.

4. Написати рівняння еліпса, якщо відомі його ексцентриситет , фокус F(2;1) і рівняння відповідної директриси .

5. Обчислити площу трикутника, який обмежений асимптотами гіперболи і прямою .

6. Ексцентриситет гіперболи , відстань точки М гіперболи від директриси дорівнює 4. Знайти відстань точки М від фокуса, одностороннього з цією директрисою.

7. Через лівий фокус гіперболи проведений перпендикуляр до її осі, яка містить вершини. Визначити відстань фокусів від точок перетину цього перпендикуляра з гіперболою.

8. Написати рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює , фокус міститься в точці (0;13), а рівняння відповідної директриси .

9. На параболі знайти точки, фокальний радіус яких дорівнює 13.

10. Написати рівняння параболи, якщо відомі фокус F(-7;0) і рівняння директриси .

11. Задано еліпс . Знайти відстань від кінців великої осі до однієї з директрис.

12. На еліпсі знайти точку, яка віддалена від малої осі на 5 одиниць.

13. Задана гіпербола . Написати рівняння спряженої гіперболи. Знайти ексцентриситети, директриси і асимптоти заданої і спряженої гіпербол.

14. Написати рівняння директриси параболи .

15. Скласти рівняння кола з центром в точці О(0;0), яке дотикається прямої .

16. Знайти відстань між центрами кіл і .

17. На еліпсі знайти точки з фокальним радіусом .

Вказівка. Використати формули для фокальних радіусів .

18. Знайти центр, півосі, півфокусну відстань і ексцентриситет еліпса: . Записати канонічне рівняння та побудувати графік.

19. В еліпс вписано прямокутник, дві протилежні сторони якого проходять через фокуси. Обчислити площу цього прямокутника.

20. Знайти центр, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет і канонічне рівняння гіперболи . Побудувати цю гіперболу.

Вказівка. Необхідно виділити повні квадрати змінних, що відповідатиме паралельному переносу системи координат в новий центр.

21. Записати рівняння гіперболи, дійсна вісь якої дорівнює 6, а відстань фокусами дорівнює 10, записати рівняння спряженої гіперболи. Побудувати їх графіки.

22. Знайти точки перетину гіперболи з прямою .

23. Відомо, що гіпербола проходить через фокуси еліпса , а її фокуси знаходяться у вершинах еліпса. Скласти рівняння гіперболи.

24. Ексцентриситет гіперболи, яка має спільні фокуси з еліпсом , дорівнює 1,2. Скласти рівняння цієї гіперболи.

25. На параболі взята точка А(x,y), яка знаходиться від директриси на відстані . Знайти відстань цієї точки від вершини параболи.