4.3. Интегрирование уравнений движения. Уравнение Бернулли.

Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости в общем случае не интегрируются, но в трех частных случаях возможно получение так называемых интегралов уравнений движения. Получим один из них. Для этого будем считать движение жидкости установившимся и проинтегрируем уравнения движения (4.2) вдоль линии тока. При установившемся движении частицы жидкости движутся по линиям тока, которые совпадают с траекториями (п.3.2) и за время dt проходят путь dl=vdt или в проекциях на оси координат

, , .

Умножим каждую строчку системы (4.2) на соответственно на записанные проекции пути:

;

;

.

Сложив левые и правые части уравнений и проведя необходимые сокращения, получим

.(4.7)

Выражение, входящее в круглые скобки, есть полный дифференциал давления

,

а левая часть равна , так как

С учетом этого выражение (4.7) примет вид

, (4.8)

или, имея в виду, что  и g – величины постоянные, сумма дифференциалов равна дифференциалу суммы, выражение (4.8) можно представить в виде

.

Если дифференциал выражения равен нулю, то само выражение является постоянной величиной, то есть

. (4.9)

Умножая все слагаемые на постоянную величину , можно получить

, (4.10)

а деля уравнение (4.9) на постоянную g, имеем

. (4.11)

Уравнения (4.9), (4.10), (4.11) называются интегралом (уравнением) Бернулли для невязкой жидкости. Интеграл Бернулли справедлив при установившемся течении для частицы жидкости, движущейся по линии тока. Величина C (C₁, C₂) является константой только вдоль линии тока.

Выясним, каков физический смысл уравнения Бернулли. Для этого умножим каждое слагаемое уравнения (4.11) на вес частицы G. Тогда

. (4.12)

В первом слагаемом - масса частицы. Значит, первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию частицы жидкости.

Для того чтобы разобраться со вторым слагаемым, обратимся к рис.32. Если поместить в жидкости совершенно пустую (торичеллиеву) трубку так, что у ее основания давление равно p, жидкость поднимется на высоту и давление p будет уравновешиваться давлением столбика жидкости высотой h. Значит, второе слагаемое можно представить как работу, которую совершает давление, поднимая частицу весом G на высоту h, или как потенциальную энергию давления.

Н аконец, последнее слагаемое, как и в механике твердого тела, характеризует потенциальную энер-гию положения частицы весом G относительно горизонтальной плос-кости сравнения, от которой рас-сматриваемая частица отстоит на z.

Следовательно, уравнение Бернулли представляет собой уравнение энергии. Чтобы от рассмотренного уравнения (4.12) снова вернуться к уравнению (4.11), необходимо (4.12) разделить на вес G. Таким образом, уравнение Бернулли в форме (4.11) представляет собой уравнение удельной механической энергии частицы, отнесенной к ее весу. Из аналогичных рассуждений следует, что уравнение в форме (4.9) – это уравнение удельной механической энергии, отнесенной к массе, а в форме (4.10) – отнесенной к объему. Из уравнений (4.9)-(4.11) следует, что сумма трех удельных механических энергий – величина постоянная вдоль линии тока при установившемся движении невязкой жидкости.

Таким образом, уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии при установившемся движении вдоль линии тока. Каждое слагаемое в отдельности может изменяться, энергия может переходить из одного вида в другой, но их сумма должна оставаться постоянной.

В общем случае, при переходе от одной линии тока к другой, постоянная C, а значит, и величина суммарной удельной механической энергии будут меняться.