Умножение чисел в дополнительных кодах

Если числа в ЭВМ представлены в дополнительных кодах, то операцию умножения можно трактовать в общем виде следующим образом:

- если Х>0 и Y>0, то поскольку [Х>0]_Д = Х, [Y>0]_Д = Y, специфика выполнения умножения здесь не проявляется (см. гл.I. п.4.1);

- если Х<0, а Y>0, то [Х<0]_Д = 2+Х и [Х]_Д [Y]_Д = 2Y + ХY – получается так называемое псевдопроизведение, и для того чтобы получить правильный результат [ХY<0]_Д = 2+ХY, необходимо к псевдопроизведению прибавить 2 и вычесть 2Y;

- если Х>0, Y<0, то [Х]_Д [Y]_Д = 2Х+ХY, и здесь необходима поправка, равная +2 и -2Х;

- если Х<0 и Y<0, то [Х]_Д [Y]_Д = (2+Х)(2+Y), а правильный результат ХY, и необходима поправка - 4 - 2Х - 2Y.

Существует несколько способов введения поправок. Рассмотрим способ со сдвигом сумм частичных произведений вправо на примере умножения с младших разрядов множителя, обеспечивающий автоматическое введение поправок при любых знаках перемножаемых чисел. Обозначим дополнительный младший разряд множителя, на который производится умножение через y(n+1-i). По отношению к данному разряду старшим будет y(n‑i). Алгоритм вычисления заключается в следующем:

- если y(n+1-i) = y(n-i), то производится лишь сдвиг частичного произведения A(i-1)·2^-1;

- если y(n-i) = 0, а y(n+1-i) = 1, то к A(i-1)·2^-1 прибавляется [Х]_Д;

- если y(n-i) = 1, а y(n+1-i) = 0, то из A(i-1)·2^-1 вычитается [Х]_Д или к A(i-1)·2^-1 прибавляется [-(Х)_Д]_Д со сменой знака X.

Для этого алгоритма справедлива следующая рекуррентная формула

A(i) = A(i-1)·2^-1 + [(у(n+1-i)-у(n-i))·(Х)]_Д.

При этом операция состоит из n+1 такта для i=1,...,n+1. Другими словами, умножение производится и на знаковый разряд множителя y₀. После умножения на последнем шаге получаем A(n+1) = [Х]_Д [Y]_Д = [Z]_Д и сдвиг A(n+1) не производится.

Рассмотренная методика применима и к умножению со старших разрядов множителя со сдвигом множимого вправо. Алгоритм выполнения операции имеет следующий вид:

[Х]_Д [Y]_Д = (у₁-у₀) [Х]_Д + (у₂-у₁) [Х]_Д ·2^-1 + ...

+ (у_n-у_n-1) [Х]_Д ·2^-n+1 + (у_n+1-у_n) [Х]_Д ·2^-n.

Умножим в дополнительном двоичном коде десятичные числа -5 и -6 с фиксированной запятой перед старшим разрядом:

[-5]_пр=1.0101, [-5]_д=1.1011 (∙2⁺⁴,число дробное),

[-6]_пр=1.0110, [-6]_д=1.1010 (множитель y₀. y₁ y₂ y₃ y₄∙2⁺⁴).

Берем дополнительный разряд множителя y₅=0 и вычисляем разность двух старших разрядов множителя на очередном шаге умножения при сдвиге влево с выполнением следующих микроопераций (м/о):

1. y₁-y₀=0, (A(0)=0)∙2^-1

2. y₂-y₁=-1, A(1) +0.Х_ПР∙2^-1

3. y₃-y₂=+1, A(2)+[-Х]_Д∙2^-2

4. y₄-y₃=-1, A(3)+(0.Х_ПР )∙2^-3

5. y₅-y₄=0, [Z]_Д = (A(4)+0)

С учетом сдвига множителя влево и сумм частичных произведений A(i) влево, и с учетом сдвига Х∙2^-1 множимого вправо 1.1011 на каждом шаге умножения имеем:

Ш а г	Со сдвигом A(i) вправо			Со сдвигом Х вправо
	ХПР	0.010100000		ХПР	0.010100000
	[-Х]Д	1.101100000		[-Х]Д	1.101100000
	м/о	Сумматор		м/о	Сумматор
1	(A(0)=0)∙2-1	0.000000000		(A(0)=0)+0	0.000000000
2	SM+0.ХПР	0.010100000		SM+(0.Хп)∙2-1	0.001010000
	A(1)∙2-1	0.001010000
3	+[-Х]Д	1.101100000		+[-Х]Д∙2-2	1.111011000
	SM+[-Х]Д	1.110110000		SM+[-Х]Д∙2-2	0.000101000
	[A(2)]Д∙2-1	1.111011000
Ш а г	Со сдвигом A(i) вправо			Со сдвигом Х вправо
4	+0.Хпр	0.010100000		+(0.Хпр)∙2-3	0.000010100
	SM+0.Хп	0.001111000		SM+(0.Хпр)∙2-3	0.000111100
	A(3)∙2-1	0.000111100
5	[Z]Д=A(4)+0	0.000111100		[Z]Д=A(4)+0	0.000111100

Для проверки правильности вычислений умножим полученный результат 0.000111100 на коэффициент 2⁺⁸ , получим +11110,0 = + (1∙2⁴ + 1∙2³ + 1∙2² + 1∙2¹) = + (16 + 8 + 4 + 2) = + 30. Заметим, что операция умножения со сдвигом сумм частичных произведений выполняется медленнее, чем со сдвигом множимого, так как микрооперации суммирования и сдвига не могут выполнятся одновременно в сумматоре.