Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
+Фан.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
12.09.2019
Размер:
725.5 Кб
Скачать

ФАН

1. Пусть m – мера Лебега на R. Найти , где D(x) – функция Дирихле,

- характеристическая функция множества А.

Решение:

Т.о. на [0,4] f(x) простая измеримая. Зн.,

Т.к. m(Q[0,4])=m(Q)+m([0,4])-m(Q[0,4])=m(Q)+m([0,4])- m([0,4])=m(Q)=0

m([0,4]\Q)=m([0,4])-m([0,4] Q)==m([0,4])=m([0,4))=4-0 + m({4})=0 =4-0+0=4

m({4})=0, т.к. {4}=  m({4})= Ответ: 8

2. Проверить, является ли последовательность точек метрического пространства С[0;1] сходящейся, фундаментальной.

Решение:

Последовательность будет функциональной. Если она будет сходится.

Докажем сходимость:

Последовательность {xn} метрич. пр-ва Х сх-ся в Х, если х0 Х :  N N : n N

g(xn,x0)< .

{xn}= g(x,y)= пусть х0(t)=1, тогда

 {xn}-сх-ся.

фундаментальна Ответ: явл-ся.

3. Является ли оператор , действующий по формуле Ax = (2x2, 2x3, …, 2xn, …) линейным, ограниченным? Если да, то найти его норму.

Решение:

  1. линейный оператор, если x,yE и K

а) А(x+y)=Ax+Ay б) A(x)= Ax

2) xE1 ||Ax||2c||x||1

1) линейность очевидна;

2)  A – ограничен

Нормой оператора А наз-ся наименьшая из констант M т.ч. ||Ax||M||x||

Ответ: ||A||=2

4. Пусть , действующий по формуле Ax = (x1, x2, 5x3,0,…). Найти спектр этого оператора.

Решение:

Рассмотрим A:XX, где Х – банахово пр-во, А – ограничен, С. Все , для которых оператор (I-A) -1 -ет и ограничен, наз измеримыми точками оператора А. Все они образуют резольвентное мн-во оператора А, к-е обознач. (А). Все остальные , т.е. С\(А) наз-ся спектром оператора А и обознач-ся (А).

Ищем точечный спектр оператора т(А)

Ах=х

12,5х3,0,0,…)=( х1, х2, х3,…)

х1=х1 =0  х=(0,0,0,х45,….)

х2=х2 =1  х=(х12,0,0,….) т(А)={0,1,5}

3=х3 =5  х=(0,0,х3,0,0,….)

0=х4

……….. {0,1,5} x=(0,0,0,….)

Ищем точки непрерывного спектра Ах-х=y

x1(1-)=y1 x1=y1/(1-)

x2(1-)=y2 x2=y2/(1-) н(А)=

x3(5-)=y3 x3=y3/(1-)

-x4=y4

(А)=н(А)т(А) ост(А)={0,1,5} Ответ: (А)={0,1,5}

5. Найти сопряжённый оператор к оператору A: L [0;1] L [0;1], если (Ax)(t) = .

Решение: (Ax,y)=(x,A*y) x,yM

Ответ:

6. Определить, при каких значениях L [0;1] уравнение (1) имеет решение в пространстве L [0;1].

Решение: Уравнение (1) имеет решение для тех и только тех f, к-ые ортогональны всем решениям сопряженного однородного ур-ия. Решим его

 x(t)=2tA-4t2B

 однородное сопряженное ур-ие имеет нулевое решение. Значит f (f,x(t))=(f,0)=0. След-но fL2[0,1] исходное уравнение имеет решение в L2[a,b]. Ответ: fL2[0,1].

УМФ

1. Решить задачу Коши:

Решение

Это волновое уравнение

2. Привести к каноническому виду

Решение

3. Приведите уравнения к каноническому виду:

Решение:

4. Решить задачу Коши:

Решение

5. Решить задачу Коши:

1) 2)

вспомогательная замена:

Дифференциальная геометрия и топология

1. Пусть X есть R, а τ состоит из:

а) пустого множества и всевозможных бесконечных множеств;

б) пустого множества и дополнений всевозможных конечных множеств.

Является ли в этих случаях набор τ топологией в R.

Решение: топологией в мн-ве Х наз-ся система подмн-в мн-ва Х τ, для кот-ой вып-ся след. аксиомы: 1) , Х τ; 2) -ие любого числа эл-ов из τ снова явл-ся эл-ом из τ; 3) -ие конечного числа эл-ов из τ снова явл-ся эл-ом из τ.

а) {А| А-бескон. мн-во}

1)  τ, Х τ, т.к. Х=R-бесконечно

2) Аi, где Аi –бескон мн-во, бесконечно

3) Пусть (0;1]бесконеч [1;2)бесконеч={1}-конечно,  -ие  τ

 τ не явл-ся топологией

б) {В| R\В-конечно}

1)  τ, R τ, т.к. R\R= τ

2) Пусть U= iJ Ui, где R\Ui –конечно, пусть R\U=R\ iJ Ui= i(R\Ui)кон-конечно U τ

3) U= i=1nUi Пусть R\U=R\( i=1nUi) = i=1n(R\Ui)конеч  U τ

 τ- топология.

2. Какие из следующих множеств попарно гомеоморфны:

(- ;3]; [1;5) ; (-7; 2) и [2, 3]. Рассматривается естественная топология.

Решение: f-гомеоморфизм, если f-биекция, f-непрерывно, f -1 –непрерывно. Т.к. при непрерывном отображении открытыеоткр, замкнутыезамкн., то след. рассматривать мн-ва (- ;3]=А и[1;5)=В. Найдем отображение f:АВ  f=- , по теореме об обратном отображении f(x)-инъективно, сюръективно, а биективно. То по определению f- гомеоморфно.

3. Пусть А и В – компактные подмножества топологического пространства X. Верно ли, что множество А В компактно? Верно ли, что множество А В компактно?

Решение: топологическое пр-во Х наз-ся компактным, если из всякого открытого покрытия Х можно выделить конечное подпокрытие. Подмн-во тополочического пр-ва наз-ся компактным мн-вом, если оно явл-ся компактным пространством в индуцированной топологии.

А и В- компактны из Х.

1) Пусть Х с τЕ. А=[0;1]-компактно, В=[1/2;2]- компактно [по теореме любой [a,b] в τЕ компактен]  АВ не всегда компакт, но АВ =(1/2;1]- не компактно.

2) Пусть АВ, пусть покрытие мн-ва АВ. Очевидно, что оно и покрытие мн-ва А и из него можно выделить конечное подпокрытие для А. Оно же будет отк. Покрытием для В след из него можно выделить конечное подпокрытие для В. Тогда -ие этих 2-х конечных подпокрытий –конечное подпокрытие для АВ  АВ –компакт.

Ответ: АВ-компакт, АВ- не всегда компакт.

4. Найти кривизну кривой в точке .

Найти под каким углом пересекаются линии на прямом геликоиде

Решение:

Кривизна k= ;

k= =

Не до конца.

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он будет тащить первым или вторым?

Решение: предположим, что всего n экзаменационных билетов, среди которых m неизвестных. Пусть A={студент выбрал неизвестный билет, если тащит первый}, P(A)=m/n. Теперь предположим, что студент тащит билет вторым и пусть B={студент выбрал неизвестный билет, если тащит вторым}. Рассмотрим следующие гипотезы:

H1 – первый студент вытащит неизвестный билет для второго студента;

H2 – первый студент вытащит известный билет для второго студента.

События H1 и H2 образуют полную группу. P(B)=[по формуле полной вероятности]=

=P(H1)P(B\H1)+P(H2)P(B\H2)= .

Т.о. P(A)=P(B).

Ответ: вероятность вытащить неизвестный билет одинакова, будет ли тянуть его студент вторым или первым.

2. Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших". Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность следующих событий: A = {первый студент взял "хороший" билет};В = {второй студент взял "хороший" билет}; C = {оба студента взяли "хорошие" билеты}.

Решение:

Ответ: P(A)=1/5, P(B)=1/5, P(C)=1/30.

3. На отрезок АВ длины 3 наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем 2, а три – на расстоянии, большем 2.

Решение:

A B

0 2 3

Примем за: успех Y – показание точки в [0;2]; неудача Н – показания точки в (2;3]. Т.к. речь идет о геометрической прогрессии, то , где p – вероятность успеха, q – вероятность неудачи.

– формула Бернулли, где k – успехи, n – испытания.

Ответ: P=40/243.

4. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. На удачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.

Решение:

- число нестандартных решений среди стандартных.

0

1

2

P

7/15

7/15

1/15

P{=0}= ; P{=1}= ; P{=2}=

M= ; D= M2-( M)2

M= ; D=

Ответ: M=3/5; D=28/75.

5. Плотность распределения вероятностей абсолютно непрерывной случайной величины имеет форму

Найти константу с, функцию распределения и дисперсию .

Решение:

1)

2 ) I II

x 1 x

I) x(-;1)

II) x[1;+)

, Т.о.

3) M= M=

M2=

D= M2-( M)2=3-9/4=3/4

Ответ: с=3, D=3/4,

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.