- •Дифференциальная геометрия и топология
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теоретическая механика
- •Методы вычислений
- •Дифференциальные уравнения
- •Алгебра и теория чисел.
- •1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.
- •2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •3. Разложить пространство r4 на прямую сумму подпространств размерности 2.
- •4. Докажите, что в пространстве m(2, r) система векторов линейно независима.
- •5. Найдите жорданову нормальную форму матриц: .
- •6. Исследовать, являются ли векторы
- •7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства r2, заданного в некотором базисе матрицей
- •8. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы
- •9. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов из , где
- •Докажите, что линейные пространства и изоморфны:
- •11 Найти матрицу, обратную матрице а
- •15. Даны два базиса и пространства Найти матрицу перехода от базиса к .
- •16. Найти ранг матрицы а
6. Исследовать, являются ли векторы
векторного пространства линейно зависимыми.
Решение:
Пусть
Это приводит к системе:
Т. к. определитель системы ≠ 0, то система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов f(x), g(x), h(x) являются линейно независимыми.
Ответ: линейно независимы.
7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства r2, заданного в некотором базисе матрицей
.
Решение:
Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 2.
Значит, - собственное значение линейного оператора.
Найдем собственный вектор, отвечающий найденному собственному значению:
Пусть х = (х1, х2) х(А-
θ
Пусть х2=t →x1=-t, где t – любое число
Ответ: собственное значение λ = -1, собственный вектор (-t, t), t – любое число.
8. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы
Решение:
Мы должны найти все λ, для которых уравнение (1)
имеет решение
что приводит к системе:
Уравнение (1) имеет решение ↔, когда данная система имеет решение. А согласно теореме Кронекери-Копелли данная система совместима ↔ ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы.
~ ~ ~
При 18-3λ=0, т.е. при λ=6, ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы системы и = 3. И при таких λ система, а, значит, уравнение (1), имеет решение. При других λ решений нет.
Ответ: λ = 6
9. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов из , где
Решение:
Рассмотрим систему векторов , . И пусть θ, θ=0+0х+0х2
Это приводит к системе:
Система имеет единственное решение:
И поэтому вектора , линейно независимы.
Рассмотрим систему векторов , , (1)
Пусть
Это приводит к системе:
Определитель системы ≠ 0 → система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов (1) является базисом линейной оболочки. LimL(a1, a2, a3)=3
Ответ: базис: , , , LimL(a1, a2, a3)=3
Докажите, что линейные пространства и изоморфны:
C над R , R2.
Решение:
Т-ма: 2 конечномерных векторных пространства изоморфны ↔, когда их размерности совпадают.
Размерностью пространства V (dim V) называется число элементов в базисе этого пространства. Найдем базисы для V1 и V2.
Для любого комплексного числа zЄV1 мы имеем: z = a+bi=0.1+0, любое комплексное число – есть линейная комбинация векторов 1, i (1).
Пусть теперь , значит система (1) линейно независима и поэтому является базисом в пространстве V1. Итак, dimV1=2
В пространстве R2 имеется базис e1=(1,0), e2=(0,1). Значит dimV2=2.
Следовательно, по теореме эти пространства изоморфны.
11 Найти матрицу, обратную матрице а
.
Решение: Обратную матрицу можно искать только для квадратной матрицы, у которой определитель ≠ 0
т. к. обратная матрица существует
Aij - алгебраические дополнения
Ответ:
15. Даны два базиса и пространства Найти матрицу перехода от базиса к .
Решение:
Так как векторы е1, е2 образуют базис пространства, то векторы а1 и а2 можно линейно выразить через е1, е2:
а1=α11е1+α12е2 или (-2, -4)=α11(1, -2)+ α12(3, 2)
а2=α21е1+α22е2 (-1, -6)= α21(1, -2)+ α22(3, 2)
Каждое из этих равенств можно заменить системой уравнений α11=1, α12= -1. α21=2, α22= -1
Тогда матрица перехода:
Ответ: