Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
+Фан.doc
Скачиваний:
7
Добавлен:
12.09.2019
Размер:
725.5 Кб
Скачать

6. Исследовать, являются ли векторы

векторного пространства линейно зависимыми.

Решение:

Пусть

Это приводит к системе:

Т. к. определитель системы ≠ 0, то система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов f(x), g(x), h(x) являются линейно независимыми.

Ответ: линейно независимы.

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства r2, заданного в некотором базисе матрицей

.

Решение:

Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 2.

Значит, - собственное значение линейного оператора.

Найдем собственный вектор, отвечающий найденному собственному значению:

Пусть х = (х1, х2) х(А-

θ

Пусть х2=t →x1=-t, где t – любое число

Ответ: собственное значение λ = -1, собственный вектор (-t, t), t – любое число.

8. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы

Решение:

Мы должны найти все λ, для которых уравнение (1)

имеет решение

что приводит к системе:

Уравнение (1) имеет решение ↔, когда данная система имеет решение. А согласно теореме Кронекери-Копелли данная система совместима ↔ ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы.

~ ~ ~

При 18-3λ=0, т.е. при λ=6, ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы системы и = 3. И при таких λ система, а, значит, уравнение (1), имеет решение. При других λ решений нет.

Ответ: λ = 6

9. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов из , где

Решение:

Рассмотрим систему векторов , . И пусть θ, θ=0+0х+0х2

Это приводит к системе:

Система имеет единственное решение:

И поэтому вектора , линейно независимы.

Рассмотрим систему векторов , , (1)

Пусть

Это приводит к системе:

Определитель системы ≠ 0 → система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов (1) является базисом линейной оболочки. LimL(a1, a2, a3)=3

Ответ: базис: , , , LimL(a1, a2, a3)=3

  1. Докажите, что линейные пространства и изоморфны:

C над R , R2.

Решение:

Т-ма: 2 конечномерных векторных пространства изоморфны ↔, когда их размерности совпадают.

Размерностью пространства V (dim V) называется число элементов в базисе этого пространства. Найдем базисы для V1 и V2.

Для любого комплексного числа zЄV1 мы имеем: z = a+bi=0.1+0, любое комплексное число – есть линейная комбинация векторов 1, i (1).

Пусть теперь , значит система (1) линейно независима и поэтому является базисом в пространстве V1. Итак, dimV1=2

В пространстве R2 имеется базис e1=(1,0), e2=(0,1). Значит dimV2=2.

Следовательно, по теореме эти пространства изоморфны.

11 Найти матрицу, обратную матрице а

.

Решение: Обратную матрицу можно искать только для квадратной матрицы, у которой определитель ≠ 0

т. к. обратная матрица существует

Aij - алгебраические дополнения

Ответ:

15. Даны два базиса и пространства Найти матрицу перехода от базиса к .

Решение:

Так как векторы е1, е2 образуют базис пространства, то векторы а1 и а2 можно линейно выразить через е1, е2:

а111е112е2 или (-2, -4)=α11(1, -2)+ α12(3, 2)

а221е122е2 (-1, -6)= α21(1, -2)+ α22(3, 2)

Каждое из этих равенств можно заменить системой уравнений α11=1, α12= -1. α21=2, α22= -1

Тогда матрица перехода:

Ответ: