ФАН

1. Пусть m – мера Лебега на R. Найти , где D(x) – функция Дирихле,

- характеристическая функция множества А.

Решение:



Т.о. на [0,4] f(x) простая измеримая. Зн.,

Т.к. m(Q[0,4])=m(Q)+m([0,4])-m(Q[0,4])=m(Q)+m([0,4])- m([0,4])=m(Q)=0

m([0,4]\Q)=m([0,4])-m([0,4] Q)==m([0,4])=m([0,4))_=4-0 + m({4})₌₀ =4-0+0=4

m({4})=0, т.к. {4}=  m({4})= Ответ: 8

2. Проверить, является ли последовательность точек метрического пространства С[0;1] сходящейся, фундаментальной.

Решение:

Последовательность будет функциональной. Если она будет сходится.

Докажем сходимость:

Последовательность {x_n} метрич. пр-ва Х сх-ся в Х, если х₀ Х :  N_ N : n N_

g(x_n,x₀)< .

{x_n}= g(x,y)= пусть х₀(t)=1, тогда

 {x_n}-сх-ся.

фундаментальна Ответ: явл-ся.

3. Является ли оператор , действующий по формуле Ax = (2x₂, 2x₃, …, 2x_n, …) линейным, ограниченным? Если да, то найти его норму.

Решение:

1. линейный оператор, если x,yE и K

а) А(x+y)=Ax+Ay б) A(x)= Ax

2) xE₁ ||Ax||₂c||x||₁

1) линейность очевидна;

2)  A – ограничен

Нормой оператора А наз-ся наименьшая из констант M т.ч. ||Ax||M||x||

Ответ: ||A||=2

4. Пусть , действующий по формуле Ax = (x₁, x₂, 5x₃,0,…). Найти спектр этого оператора.

Решение:

Рассмотрим A:XX, где Х – банахово пр-во, А – ограничен, С. Все , для которых оператор (I-A) ^-1 -ет и ограничен, наз измеримыми точками оператора А. Все они образуют резольвентное мн-во оператора А, к-е обознач. (А). Все остальные , т.е. С\(А) наз-ся спектром оператора А и обознач-ся (А).

Ищем точечный спектр оператора _т(А)

Ах=х

(х₁,х₂,5х₃,0,0,…)=( х₁, х₂, х₃,…)

х₁=х₁ =0  х=(0,0,0,х₄,х₅,….)

х₂=х₂ =1  х=(х₁,х₂,0,0,….) _т(А)={0,1,5}

5х₃=х₃ =5  х=(0,0,х₃,0,0,….)

0=х₄

_……….. {0,1,5} x=(0,0,0,….)

Ищем точки непрерывного спектра Ах-х=y

x₁(1-)=y₁ x₁=y₁/(1-)

x₂(1-)=y₂ x₂=y₂/(1-) _н(А)=

x₃(5-)=y₃ x₃=y₃/(1-)

-x₄=y₄

(А)=_н(А)_т(А) _ост(А)={0,1,5} Ответ: (А)={0,1,5}

5. Найти сопряжённый оператор к оператору A: L [0;1] L [0;1], если (Ax)(t) = .

Решение: (Ax,y)=(x,A^*y) x,yM

Ответ:

6. Определить, при каких значениях L [0;1] уравнение (1) имеет решение в пространстве L [0;1].

Решение: Уравнение (1) имеет решение для тех и только тех f, к-ые ортогональны всем решениям сопряженного однородного ур-ия. Решим его

 x(t)=2tA-4t²B

 однородное сопряженное ур-ие имеет нулевое решение. Значит f (f,x(t))=(f,0)=0. След-но fL₂[0,1] исходное уравнение имеет решение в L₂[a,b]. Ответ: fL₂[0,1].

УМФ

1. Решить задачу Коши:

Решение

Это волновое уравнение

2. Привести к каноническому виду

Решение

3. Приведите уравнения к каноническому виду:

Решение:

4. Решить задачу Коши:

Решение

5. Решить задачу Коши:

1) 2)

вспомогательная замена:

Дифференциальная геометрия и топология

1. Пусть X есть R, а τ состоит из:

а) пустого множества и всевозможных бесконечных множеств;

б) пустого множества и дополнений всевозможных конечных множеств.

Является ли в этих случаях набор τ топологией в R.

Решение: топологией в мн-ве Х наз-ся система подмн-в мн-ва Х τ, для кот-ой вып-ся след. аксиомы: 1) , Х τ; 2) -ие любого числа эл-ов из τ снова явл-ся эл-ом из τ; 3) -ие конечного числа эл-ов из τ снова явл-ся эл-ом из τ.

а) {А| А-бескон. мн-во}

1)  τ, Х τ, т.к. Х=R-бесконечно

2) А_i, где А_i –бескон мн-во, бесконечно

3) Пусть (0;1]_{бесконеч} [1;2)_{бесконеч}={1}-конечно,  -ие  τ

 τ не явл-ся топологией

б) {В| R\В-конечно}

1)  τ, R τ, т.к. R\R= τ

2) Пусть U= _iJ U_i, где R\U_i –конечно, пусть R\U=R\ _iJ U_i= _i(R\U_i)_кон-конечно U τ

3) U= _i=1ⁿU_i Пусть R\U=R\( _i=1ⁿU_i) = _i=1ⁿ(R\U_i)_конеч  U τ

 τ- топология.

2. Какие из следующих множеств попарно гомеоморфны:

(- ;3]; [1;5) ; (-7; 2) и [2, 3]. Рассматривается естественная топология.

Решение: f-гомеоморфизм, если f-биекция, f-непрерывно, f ^-1 –непрерывно. Т.к. при непрерывном отображении открытыеоткр, замкнутыезамкн., то след. рассматривать мн-ва (- ;3]=А и[1;5)=В. Найдем отображение f:АВ  f=- , по теореме об обратном отображении f(x)-инъективно, сюръективно, а биективно. То по определению f- гомеоморфно.

3. Пусть А и В – компактные подмножества топологического пространства X. Верно ли, что множество А В компактно? Верно ли, что множество А В компактно?

Решение: топологическое пр-во Х наз-ся компактным, если из всякого открытого покрытия Х можно выделить конечное подпокрытие. Подмн-во тополочического пр-ва наз-ся компактным мн-вом, если оно явл-ся компактным пространством в индуцированной топологии.

А и В- компактны из Х.

1) Пусть Х с τ_Е. А=[0;1]-компактно, В=[1/2;2]- компактно [по теореме любой [a,b] в τ_Е компактен]  АВ не всегда компакт, но АВ =(1/2;1]- не компактно.

2) Пусть АВ, пусть покрытие мн-ва АВ. Очевидно, что оно и покрытие мн-ва А и из него можно выделить конечное подпокрытие для А. Оно же будет отк. Покрытием для В след из него можно выделить конечное подпокрытие для В. Тогда -ие этих 2-х конечных подпокрытий –конечное подпокрытие для АВ  АВ –компакт.

Ответ: АВ-компакт, АВ- не всегда компакт.

4. Найти кривизну кривой в точке .

Найти под каким углом пересекаются линии на прямом геликоиде

Решение:

Кривизна k= ;

k= =

Не до конца.

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он будет тащить первым или вторым?

Решение: предположим, что всего n экзаменационных билетов, среди которых m неизвестных. Пусть A={студент выбрал неизвестный билет, если тащит первый}, P(A)=m/n. Теперь предположим, что студент тащит билет вторым и пусть B={студент выбрал неизвестный билет, если тащит вторым}. Рассмотрим следующие гипотезы:

H₁ – первый студент вытащит неизвестный билет для второго студента;

H₂ – первый студент вытащит известный билет для второго студента.

События H₁ и H₂ образуют полную группу. P(B)=[по формуле полной вероятности]=

=P(H₁)P(B\H₁)+P(H₂)P(B\H₂)= .

Т.о. P(A)=P(B).

Ответ: вероятность вытащить неизвестный билет одинакова, будет ли тянуть его студент вторым или первым.

2. Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших". Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность следующих событий: A = {первый студент взял "хороший" билет};В = {второй студент взял "хороший" билет}; C = {оба студента взяли "хорошие" билеты}.

Решение:

Ответ: P(A)=1/5, P(B)=1/5, P(C)=1/30.

3. На отрезок АВ длины 3 наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем 2, а три – на расстоянии, большем 2.

Решение:

A B

0 2 3

Примем за: успех Y – показание точки в [0;2]; неудача Н – показания точки в (2;3]. Т.к. речь идет о геометрической прогрессии, то , где p – вероятность успеха, q – вероятность неудачи.

– формула Бернулли, где k – успехи, n – испытания.

Ответ: P=40/243.

4. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. На удачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.

Решение:

- число нестандартных решений среди стандартных.

	0	1	2
P	7/15	7/15	1/15

P{=0}= ; P{=1}= ; P{=2}=

M_= ; D_= M_²-( M_)²

M_= ; D_=

Ответ: M_=3/5; D_=28/75.

5. Плотность распределения вероятностей абсолютно непрерывной случайной величины имеет форму

Найти константу с, функцию распределения и дисперсию _.

_{Решение:}

₁₎

_{2 ) I II}

x 1 x

I) x(-;1)

II) x[1;+)

_{, Т.о.}

3) M_= M_=

M_²=

D_= M_²-( M_)²=3-9/4=3/4

Ответ: с=3, D_=3/4,