1.4. Інтегрування тригонометричних функцій

Оскільки кожна раціональна функція інтегрується в елементарних функціях, то уведення заміни під знаком інтегралу, яке перетворює підінтегральну функцію в раціональну (раціоналізуючої заміни), дозволяє стверджувати, що відповідний інтеграл інтегрується в елементарних функціях.

Інтеграл виду

1. завжди раціоналізується універсальною тригонометричною підстановкою , після уведення якої отримаємо

, , ,

тому .

Недоліком наведеної підстановки є громіздкість отримуваних раціональних функцій у багатьох випадках. Саме тому розглянемо заміни, що призводять до більш зручних щодо інтегрування раціональних функцій.

2. Якщо , то уводять заміну .

3. Якщо , то уводять заміну .

4. Якщо , то уводять заміну .

Наведемо відповідні приклади.

1. У наступному прикладі використовується універсальна тригонометрична заміна

.

2. Підінтегральна функція в інтегралі є непарною відносно синуса, тому зручно застосовувати другу з наведених замін

.

3. Наступний приклад стосується заміни 4.

.

Інтеграли виду

інтегрують або за допомогою замін чи (внесення під диференціал), або кратним використанням формули зниження ступеня і формул тригонометричних функцій подвійних кутів.

4.

.

5. Використовуємо формули зниження ступеня

.

Для інтегрування першої з функцій застосуємо заміну , а саме:

,

а для другої – формулу зниження ступеня

,

останні інтегруємо безпосередньо, тому разом одержимо

.

1.5. Інтегрування ірраціональних функцій

Інтегрування дробово-лінійних ірраціональностей виду (a, b, c, d=const, n)

Здійснюємо підстановкою , звідки , . Ця підстановка раціоналізує підінтегральний вираз.

1. (№Д1932)

.

Частковим випадком дробово-лінійної ірраціональності є функція .

2. (№Д1927) Для інтеграла у виразі дробово-лінійної

ірраціональності треба обрати , тоді після заміни отримаємо: ,

.

Метод невизначених коефіцієнтів дає такі результати: , тому

.

Інтегрування квадратичних ірраціональностей

здійснюється підстановками Ейлера, які у даному випадку є універсальними:

перша основна підстановка Ейлера , якщо ;

друга основна підстановка Ейлера ;

третя неосновна підстановка Ейлера .

3. (№Д1966)

Інтегрування підстановками Ейлера іноді призводить до обчислення складних раціональних функцій. Розглянемо один частковий випадок, що дозволяє спростити таке інтегрування.

Інтегрування квадратичних ірраціональностей виду , де - многочлен степені

здійснюється представленням інтегралу у вигляді

,

де ‑ многочлен степеня з невизначеними коефіцієнтами, ‑ невизначений коефіцієнт.

4. (№Д1946) Обчислити інтеграл .

В чисельнику стоїть многочлен третього степеня, тому многочлен з невизначеними коефіцієнтами треба обрати другого степеня, і тоді отримаємо:

.

Для отримання значень невизначених коефіцієнтів треба спочатку продиференціювати обидві частини останньої рівності:

потім обидві частини помножаємо на квадратичну ірраціональність :

,

після чого застосовуємо метод невизначених коефіцієнтів

Звідки отримаємо

Інтеграл від диференціального біному ,

де - раціональні числа, може бути зведений до інтегрування раціональних функцій лише у трьох наступних випадках (теорема Чебишева)

1. якщо - ціле, то покладають , де - спільний знаменник дробів і ;

2. якщо - ціле, покладають , де - знаменник дробу ;

3. якщо - ціле, покладають , де - знаменник дробу .

5. (№Д1987)

.