- •Множини, їх види, операції над множинами та їх властивості. Числові множини. Точна верхня і точна нижні межі множин
- •2. Множина раціональних чисел та її властивості. Потужність множини раціональних чисел.
- •3. Множина дійсних чисел та її властивості. Арифметичні операції над дійсними числами. Упорядкування дійсних чисел
- •– Дистрибутивність.
- •4. Числові послідовності, їх види та арифметичні операції над ними. Граничні точки, границя, нижня і верхня границі послідовності та умови їх існування.
- •5.Поняття функції. Способи завдання функції та їх класифікація. Границя функції в точці за Гейне і за Коші та їх еквівалентність. Істотні границі
- •Второй замечательный предел
- •6. Означення неперервності функції в точці. Неперервність елементарних функцій. Локальні властивості неперервної функції. Точки розриву
- •Означення неперервності в точці
- •Означення неперервності в точці за Коші
- •Точки розриву
- •Локальні властивості:
- •11. Формула Тейлора диференнційовної функції та її залишковий член. Формула Тейлора для елементарних функцій та її застосування.
- •Ряд Тейлора
- •Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) основных элементарных функций.
- •12. Умови монотонності функції. Означення екстремума функції, необхідні і достатні умови існування локального екстремума. Напрям опуклості графіка функції та точки перегину.
- •13. Поняття первісної функції, невизначеного інтегралу та їх властивості. Основні методи інтегрування (заміна змінної інтегрування, інтегрування частинами а інші).
- •2) Теорема (Інтегрування частинами)
- •14. Означений інтеграл та його властивості. Необхідні та достатні умови інтегрованості за Ріманом. Класи інтегрованих функцій. Формула Ньютона – Лейбніца.
- •19. Дослідження на локальний і тотальний екстремум функції багатьох змінних. Поняття про умовний екстремум.
- •20 Численные ряды, признаки их сх-ти. Абсолютно и условно сх-ся ряды,их св-ва
- •Числовые ряды с положительными членами: , - числовой ряд с положительными членами.
- •Властивості:
- •22. Степеневі ряди. Теорема Абеля про область збіжності степеневого ряду. Формула Коші-Адамара для визначення радіуса збіжності. Рівномірна збіжність, диференціювання і інтегрування степеневих рядів.
- •23.Функциональные последовательности и ряды.
- •2.Почленное дифференцирование
- •24. Тригонометрический ряд фурье
- •25. Кратні інтеграли (подвійні, потрійні): означення властивості, обчислення, застосування.
- •26. Скалярне та векторне поле та їх характеристики (градієнт скалярного поля, дивергенція і ротор векторного поля та ін.). Формули Грина, Остроградського-Гауса та Стокса.
- •27. Поняття функції комплексної змінної . Границя, неперервність, похідна фунції комплексної змінної. Умови Коши-Рімана диференційованості функції.
- •28. Елементарні функції комплексної змінної. Означення інтегрального лишку та його обчислення. Основна теорема про лишки та її застосування.
- •Твердження
- •Доведення
- •31. Метрические пространства. Определение и примеры метрических пространств. Сходимость последовательностей элементов метрических пространств.
- •32. Принцип сжимающих отображений.
- •33. Мера лебега в конечном евклидовом пространстве.
- •34. Интеграл лебега.
- •35. Скалярное, векторное и смешаное произведение векторов.
- •36. Прямая на плосости. Уравнение прямой на пл-ти в прямоугольной декартовой системе координат.
- •39. Элипс, парабола, гипербола и их свойства.
- •40. Приведение линии 2-го порядка к каноническому виду
35. Скалярное, векторное и смешаное произведение векторов.
Если один из концов отрезка считают начальным, а другой конечным, то на отрезке устанавливают направление от начала к концу, такой отрезок называется направленным или вектором. Если начало, а конец, то вектор обозначают . Модулем вектора называют его длину и обозначают . Вектор наз. нулевым если начало и конец совпадают, т. е. длинна вектора равна 0 Вектор, модуль которого равен единице наз. единичным или ортом.
Скалярным произведением 2-х не нулевых векторов наз. число , равное произведению длин перемножаемых векторов на cos угла между ними: . Если один из векторов явл. нулевым, то считают, что . Свойства:
1. - коммутативность скалярного произведения. Док-во: по определению , , как видим, если не нулевые векторы, то . Если один из векторов нулевой, то . Таким образом каковы бы не были векторы .
2.
3. Если ,то (pr-проекция).
4. - любое действ. число.
5. необходимо и достат-но
6. . Угол между векторами: по определению .
Векторное произведение 2-х векторов. Если , то векторным произведением векторов и наз. вектор длинна и направление которого определяется следующим образом , угол между Если , то и направлен так чтобы тройка была правой. Для обозначения вект. произведения пользуются такими символами или Если или , то считают .
Св-ва:
1. Если , то , верно и обратное утверждение. Док-во: Если , то возможны такие варианты: а) один из векторов - нулевой. Ясно, что . б) , тогда , в обоих случаях компланарно .(компланарны, если они || одной плоскости).
2. .
3. Длина вект. произведения парал. построенного на векторах , кот. откладываются из одной точки.
4. Вект. произвед. не изменится, если один из сомножителей заменить ортогональной проекцией на плоскость пл-ти b, т. е. .
5. ; .
6. ; .
7. Пусть - правый декартовый базис и пусть в этом базисе
Двойным векторным произв. 3-х векторов наз. вектор или . Теорема.
Смешанное произ. 3-х векторов наз. число . Теорема ( геометр. смысл ). Пусть V-обьем паралел. построенного на векторах , тогда
36. Прямая на плосости. Уравнение прямой на пл-ти в прямоугольной декартовой системе координат.
Построим ур-е прямой, кот. проходит через точку , направляющий вектор. , если некоторая точка прямой, то тогда и только тогда .( -репер). , таким образом для произвольной точки М прямой (1). Ур-е (1) наз. векторным уравнением прямой, кот. проходит через точку . Очевидно . Из (1) получаем параметрическое уравнение прямой: (2). Из парам. уравнения следует каноническое уравнение прямой на плоскости: (3). Прямая проходит через точку Запишем ур-е прямой кот. проходит через 2-е точки . Воспользуемся каноническим ур-м (3), в качестве направляющего вектора возьмем вектор , в итоге получим: (4). Рассмотрим каноническое ур-е прямой . Из него получаем: , , тогда последнее уравнение можно записать в виде (5)- общее уравнение прямой. Из сказанного выше можно сделать вывод, что направляющий вектор прямой .
Теорема.(взаимное расположение на пл-ти) Пусть на плоскости заданы две прямые ; , тогда 1) прямые пересекаются, если ; 2) прямые ||, если ; 3) прямые совпадают, если . Совокупность прямых на пл-ти , кот. проходит через одну точку наз. пучком прямых с центром в точке . Нормальный вектор прямой: ( -прямая)-это любой вектор . Лемма1. Для прямой , . Лемма2. Угол между 2-мя прямыми понимают наименьший угол из 2-х смешанных углов, образованных этими прямыми. Теорема. Пусть ,и , тогда расстояние от точки Р до прямой можно вычислить по формуле: .