32.Екстремум функції. Необхідна умова існування екстремуму. Достатні умови екстремуму.

Екстремум-найбільше і найменше значення функції. Необхідна умова екстремуму: Якщо ф-я z=f(x;у)має в точці (х₀;у₀) локальний(місцевий) екстремум, то в цій точці частинні похідні першого порядку на змінних х,та у = 0 або не існують.

Нехай функція  неперервна в  і існують кінцеві або безкінечніодносторонні похідні . Тоді за умови ,х₀ є точкою строгого локального максимуму. А якщо то х₀  є точкою строгого локального мінімуму. Зауважимо, що при цьому функція не дифференцируема в точці х₀  Нехай функція f неперервна і двічі диференційована в точці. х₀ Тоді за умови і , х₀ є   точкою локального максимуму. А якщо і то х₀ є точкою локального мінімуму.

33. Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної.

Знак першої похідної характеризує зростання і спадання функції. Знак другої похідної пов'язаний зі зростанням та спаданням першої похідної.

Якщо^' на (a; Ь) диференційована і зростає, то>>">0 на цьому ж інтервалі; якщо ж^'спадає на (а; Ь), тоу"<0 в кожній точці цього проміжку Перша похідна при пфеході через точку максимуму пфеходигь від додатніх значень до від'ємних, тобто спадає. Отже, її похідна повинна буги від'ємною.

Таким чином, в точці максимуму функції перша похідна рівна нулю, а друга похідна від'ємна.

Якщо в точці х — х. перша похідна функції дорівнює нупю if Тх„) =0), а друга похідна відмінна від нуля, TO Х — xQ - точка екстремуму

При цьому якщо друга похідна в цій точці додатня if '(х0)>0), то х — х0 - точка мінімуму якщо друга похідна в цій точці від'ємна (/"(х„)<0), то х — х„ - точка макс

Схема дослідження

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти першу похідну функції і точки, в яких вона перетворюється в нуль.

3. Знайти другу похідну фушсції і дослідиги її знак в кожній з кригичних точок.

4. Визначити точки екстремуму і обчислиги (якщо потрібно) значення функції.

34.Границя функції в точці. Основні теореми про границі. Чудові границі

Число   називається граничною точкою множини А, якщо існує  ,така, що

• ;

Означення границі за Коші.

 - гранична точка А. Число   називається границею f(x) при  , якщо  .

Позначення:   або  . Означення границі за Гейне.

 - гранична точка А (можливо,   або  ).

 (можливо,  , або  , або  ), якщо  , такої, що

• ;

виконується  .

число   називається граничною точкою множини А, якщо існує  , така, що

• ;

Нехай маємо функцію   - гранична точка А.

f називається неперервною в точці x₀, якщо   при  .

Звичайна границя існує тоді і тільки тоді, коли існує одностороння.

Кажуть, що f має розрив першого роду, якщо існують скінченні границі в точці x₀ зліва і справа, тобто існують скінченніf(x₀ + 0),f(x₀ − 0), але не виконується хоча б одна з рівностей

Основні теореми про границі функцій

Теорема 1. Якщо функції   і   в точці   мають границі, то сума і добуток цих функцій також мають у цій точці границю, причому ; . Теорема 2. Якщо функції   і   в точці   мають границі й  , то й функція  має в цій точці границю, яка дорівнює . Теорема 3. Якщо при   функція   має границю A, то ця границя єдина.