48.Безпосереднє інтегрування.

Під безпосереднім інтегруванням розуміють такий спосіб знаходження інтег-ралу, коли пшяхом тотожних перетворень підінтегральної функції та застосування властивостей невизначеного інтегралу приходимо до одного чи декількох табличних інгефалів.

C3dx Приклад 1. Знайти інтеграл I2 .

J х

Розв’язання: Використовуємо властивості степеня з від’ємним показником

1 (а-"= ~^ ; а>0) і знайдемо невизначений інтеграл від степеневої функції: a-2 dx = + C = -3xA+C = — + С.

-2 + 1 х

3dx —3

X х

{3dx Г Відповідь: N2 = —+ C

J X x

Dx

49.Інтегрування частинами.

Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція представима у виді добутку двох неперервних і повних функцій (кожна з який може бути як елементарною функцією, так і композицією), то справедливі формули

для невизначеного інтеграла:

для визначеного:

Передбачається, що знаходження інтеграла простіше, ніж . У іншому випадку застосування методу не виправдано.

Одержання формул

для невизначеного інтеграла

Функції и повні, отже, можливе диференціювання:

Ці функції також неперервні, значить можна взяти інтеграл від обох частин рівності:

Операція інтегрування протилежна диференціюванню:

Після перестановок:

для визначеного

У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:

50. Інтегрування Методом підстановки (заміни змінної)

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність:

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х - φ (t) мала обернену t = ψ(х).

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце рівність:

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).

52. Визначений інтеграл. Властивості визначеного інтегралу.

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Формула Ньютона—Лейбніца

Нехай функція f неперервна на відрізку [а, b] та F — певна первісна для f на цьому відрізку, тоді:

Ця формула називається формулою Ньютона—Лейбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовуеться позначення:

Геометричний зміст визначеного інтегралу

Необхідно обчислити визначений інтеграл

за умови, що а і b - певні числа, а є неперервною функцією на інтервалі інтегрування Для цього розіб'ємо відрізок на часткових інтервалів точками з кроком , у кожному з яких виберемо довільні точки .

Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.

Геометричний зміст визначеного інтегралу полягає в тому, що він чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої прямими та функцією У самому визначенні його фактично вже закладена основна ідея чисельного інтегрування. Адже шукана площа може показана як границя інтегральної суми.