Шпаргалка по электричеству / 1.03

Т Гаус для вектора D Введем вспом векторD=ee₀E=индукция эл п или эл смещение. Поток п D через замк полв:

f DdS =ee₀ fEdS= =ee₀*q/ ee₀ =q

Т Гаус для D Ф_D = f DdS = q _{вн у тр}

Т Г для Eи D позвол сразу напис ответ для п-ков Ф_Е и Ф_D вектторов Е и D,не вычисляя ò-ов. Для 3 ^х поверхн-й на рис получим:

Ф _DI =q₁+q ₃ Ф_DII = - q ₂ Ф_DIII = 0

Ф_EI =(q₁+q₃) ee₀ Ф_{E II} =q₂/ee₀ Ф_{E III} = 0

Для век-в известной физ величины

Дивергенция век поля. Дифференци руемая форма ТГ для вект-в Е и D

Т Остроград-Гаус позвол выраз пов-ый ò

через произв замкн поверх через объемн

ый ò. f _S *a dS = f _V *( Ñ*a)dV V-объем,

охват-й замкн пов S. Вел (Ña)-диверген ция вект п а; div a= Ña= (¶/ ¶_x *e_x

+ ¶/¶_y e_y+ ¶/¶ _{z *}e_z )*(a _x *e_x+a _y*e _y +a _z *e_z )=

= ¶ a_x / ¶ _x +¶ a _y/ ¶ _y + ¶a _z /¶ _z Использ Т Остр-Гаусса, Т Г для вект Еможно зап

fEdS=q/ ee₀ Þf (ÑE)dV=1/ ee₀ *ò_V dV Þ div E = ÑE=/ ee₀ ; ÑE= ¶E_x/¶_x +¶E_y/¶_y +¶E_z /¶ _z ; =(x,y,z) –плотность з в(.) вычисл диверг поля Е или D ; div D=

Ур-я Пуассона и Лапласса Ур-e

divE=p / ee₀ при E= -Ñj мож запи в виде: divE=ÑE= - ÑÑj= -Ѳj= -Ù j=- / (ee₀)

Þ Ù j =- /ee₀ ; *; Ù - набла (оператор)

Ù = ÑÑ= Ѳ= ¶² / ¶x²+¶² /¶y²+¶²/ ¶ z²

Ù -оператор Лапласса.

Ур Пуассона

Если =0  придем к ур  =0

Применение Т Г к Расчету Полей пост по замкн пов-ти S,за искл уч-ков по

в-ти, по которой Е _n=0;

 Поток П через Замкн Поверхность

фЕ _n dS=ò E _n dS=E _n ò dS=E _n S=q / (e e₀)  E _n= q / ((e e₀ S ; S-площ

части замкн пов-ти, по кот норм сост-я поля E _n  0

q- зар внутри всей замкнутой поверх-ти

Применить ТГдля нахожд-я Поля E _n,пос

тоянного на S,мож лишь в том случ, если такая повS известна из соображений симметрии задачи или найденной экспериментально.

ПОЛЕ Е р а в н о м е р н о заряженной по пов-ти С ф е р ы

Вспомогат воображ

пов-тьr,S Для нах поля Езаряж-ой cферы рад r округлим ее сф-й большего r>R Из симметрии задачи поле Еn=const на S, а внутри сф зар q не завис от r  поТ Гаус п Е на S: Е=q /  oS=q/ 4  o r** r R

Еn совпад сЕ. Ifвзять внутри сфR (заряж-ой), то внутри S зар q=0 и п Е на S =0

E=0 , r < R  Поле Е-разрывная фун-я Е= { 0 r < R

{ q / 4   o r** r  R

Вывод: п Е вне сф также

как п (.) з, наход-ся в ее центре.

Поле равномерно заряж-го по объему шара ш арR заряжен

с плот зар .Возьм

внутри R произвол-ю сф r<R.Из симметр зад поле Е=constна S .Внутри  окруж-ти зар q, зависящий от r: q= V=4/3  r***

ПоТГ поле Е на S = 4 r** : Е=q / 1oS= =( 4 r ***/ 3 *) / (4 1o r **)=

= / ( 3 1o) *r = C r ; 1-первая область; С=const- линейная фу-я 0 r  R.If сф-у S =4 r**взять вне заряж шара R,то внутри S окаж-ся з q, не зависящий от r :

q=4/3 R*** =const Для п E на S по ТГ:

E=q / 2 oS=q / 4 2 o r** (r > R)

 E={  / (31 o)*r =c r 0 r R внутри

{q/ (4 2 o r** r >R сферы

E 1 | 2 скачок поля Е

| E=cr | E=c/r** по сфере R

|___________|________  1  2

0 R

Скачок п Е по сфере

Поле Равномерно Заряж-го Цилиндра

(-го) и -ой Нити

Ц окружен вспом-ой

ц-й пов-ю.Для нах п

Е заряж-го Ц-R ,окр ужим его мысл Ц r R и выс-й L.Внутри Ц r окаж-ся q,не зависящ от r.Из симме-и задачи п En=const на бок п-ти Ц S=2r L; En=0 на основаниви Ц(проекция поля)

По ТГ получ для п Е на бок-ой пов-ти Ц

E=q/oS=q/(2 orL)= /(2 or) r R  =q/L-линейная плотн з бок-й п заряж Ц

 E= {0 r <R E  E=c/r

{/((2 o r) r R } o |_Eo_____

If рад заряж-гоЦ устремить R 0,то при дем к полю оо-но зар-й нити на оси Ц.

E= /(2 or) 0<r < oo Вывод: п Е вне за-гоЦ так как п нити, нах-ся на его оси.

Поле Равномерно ЗаряженнойПлос-ти

Для нах-я п Е зар

Пл-построим прямойЦ

с основаниями =отстоящими от плоск-ти

Внутри Ц-з q,не завис-й от расст оснований Ц до пл-ти.Из симметр задачи

поле En=const на осн-ии Цплощадью(2S) и En=0на бо-й повЦ.По ТГаус для поляЕ на осн-яхЦ 2Sпол : E=q/ oS= / 2o; =q/S -пов-ая плотн з-а плоскости Напра

в-ие опред-ем сами,if E=const- п однород

Поле оо-ой Равномерно Заряженной Пластины с Полостью и без нее. Пусть

П-на зар-на с

объемной плот

з-да  в обл

асти 1/ 2 | x|  2/ 2 Для нах пЕ П-ны постр прям Ц с осн-ми =отстоящ от п-ти симметрии П-ы. .А)внутри полости пЕ=0

Б)if осн-яЦ взять внутри з-ой области внутри Ц окажется з q, зависящий от x

q=V=2(x- 1/ 2) S. полеЕ на осн-хЦ-2S

E= q/ o2S=[2* (x-1/2)*S]/ (21oS)= =  / (1 о) * (х-1/ 2);  1/ 2  | х |   2/ 2 -поле внутри заряженнойобласти

If основ-ия Ц взять вне зар-ой обл,то внутри Ц окаж-ся з-д q,независящий от х q= 2 (2 / 2 - 1 / 2) *S=const  п Е на основ-яхЦ: Е=q/ (2 o2S)=[ 2*(2/ 2 --1/2 )*S ] / (2o 2S) = / (2 o)*

*( 2/ 2 - 1/2 )=Const 

 E= { 0 | x | < 1/2

{  (x--1/2) / 1o  1/2  |x|   2 /2

{  /1o*(2/ 2 -1/2)=const |x|> 2 /2

2  1 | E  | 1 | 2

| | | | |

|_______|_______|_____ _|______ |___

2/2 1/2 0 1/2 2/2

Для нах п Е пл-ны без полости надо положить 1/ 2=0 

Е { / o *x | x |  / 2 d- толщи

{{ / o * d/2 | x | >  /2 на пласт-ы

________  ___2

| 1 | |

 2 | | |

_______ |_____ __|____ __|____

- d/2 0 d/2 x

Нахождение Разности Потен-лов межд

2-м я (.) ми Поля. Пусть над най  а- в межжу центром Пл-ны с полостью и (.) В вне властины. По опр:  а- в= Edx

{ Xa Xв } = Edx { Xa d1/2} + / 1 o*

* (x-d1/2)dx {d1/2 d2/2} ?+ / 2 qo *

*(d2/2 - d1/2) dx { d2/2 Xв}=

= / 1 o *(x**--d1/2*x)  { d1/2 d2/2}+

+ / 2 o *(d2/ 2 - d1/2) x  { d2/ 2 Xв}