Теорема Гауса для вектора в.

Опыт показ.,что силовые линии маг. Поля В замкнуты сами на себя, => что поток вектора В через произвольную поверхность =0. (1)т.к.число входящих в S(поверхность) линий=числу выходящих.

Сопоставляя (1) с е. Гауса для векторов Е и D Заключаем, что в природе отсутствуют магнитные заряды. Отсутствие м.зарядов подтверждается, что путем дробления магнита на мелкие части никогда не удаётся отделить сев. Полис от южного.=> в природе сущ-ют только магнитные диполи. На основе теории, об отсутствии м.зарядов можно написать (1) и сделать вывод, что силовые линии м.поля замкнуты сами на себя.

Циркуляция вектора в по замкнутому контуру. Закон полного тока.

Доказательство теоремы о циркуляции вектораВ проведем на примере бесконечного прямого поля I. Для этого возьмем произвольный контур, охватывающий ток I, и лежащий в полоскости перп-ной оси тока и рассмотрим произвольную точку на этом контуре, находящ-ся на расстоянии R от оси тока. Поле В в этой точке направлено по касательной к окружности радиуса R и образует с направлением тока I, создающего поле В правый винт. Найдем произведение ВdL в этой точке (BdL – элементарное перемещение вдоль контура) Согласно рис., с учетом выр поля В прямого бесконечного тока: (*) проекция dL на направление поля В в рассматриваемой точке контура.

Получим, что скаляр. Произведение BdL в окрестности произв. (.) контура не зависит от положения этой (.) по отношению к оси тока.

Интегрируя обе части (*):(**)

Если контур не охватывает ток I то циркуляция для вектора В =0 : т.к., где углы одинак по величене, но различ по направлению. Получили, что циркуляция вектора В по произвольному контуру равна (**), где - магнитная проницаемость среды, в которой проходит контур, если ток проходит внутри контура, в противном случае циркуляция =0.

Если внутри контура находится несколько токов I1, I2, I3…In, то для каждого тока Складывая первые n равенств получ: (***),где В=сум.Вi+Ввнеш-суммарное поле всех токов в контуре., I=сум.Ii-алгебраическая сумма токов внутри контура.

При этом Ii>0, если его направление образует с направлением обхода контура правый винт; Ii<0, противном случае.

Соотношение (***)назыв. Т. о циркуляции вектора В или законом полного тока.

Если контур проходит в области с ныпрерыв. Распределением тока, с плотностью тока j, то ток через площадку

Применение теоремы о циркуляции вектора В к расчету полей.

Пусть проекция поля В на направление касательное к контуру Г постоянна на контуре Г, за исключением тех участков в которых она =0. Тогда по т.=> величина на контуре длинной L на котором она постоянна и отлична от нуля равна: ,- магнит. Проницаемость среды. -полный ток внутри контура.

Применить т.возможно т в том случае, если контур известен из симметрии задачи или найден экспериментально. При экспериментальном определении поля В , В=Ввнут+Ввнеш, может привести к расхождению величин найденных экспер-но и теоретически.

Магнитное поле бесконечного прямого тока.

Рассм. Бескон циллиндрический проводник радиуса R2(большой, внешний), в котором есть коаксиальная циллиндр-я полость рад. R1(внутренний). Возьмем произвольн. В виде окр-ти контур радиуса r (жирн.), с центром на оси тока, леж-щий в плоскости перпенд-ой оси тока. Если 0< r <R1, то контур не охватывает никакого тока => по т. о циркуляции, поле В внутри полости =0. Если R1 < r < R2(где есть ток), то из сообр. Симм-рии задачи поле , на r, тогда по т о циркуляции поле В на окр-ти r, длинной равно =>

Если окр-ть радиуса R2< r <бескон-ти взять вне проводника с током, то независимо от радиуса этой окр-ти внутри её будет протекать один и тот же ток равный В эт случ. На произвольном расстоянии r от оси тока поле будет равно

Если цилиндрическая полость внутри проводника отсутствует, то R1=0, и придем к частному случаю:

График зависимость В=В(r)

R1

B=0

B

r

R2

B

R2=R

r

На границе проводника с внешней средой, в которой не протикает ток будет скачек поля В т.к. магнитная проницаемость среды (вещ-ва) и проводника различны.