4. Аффинные и метрические задачи по теме «Прямая»

4.1. Взаимное расположение двух прямых

Пусть даны прямые и .

Исследуем их расположение. Для этого исследуем систему уравнений (22) на совместность и определенность:

. Составим расширенную матрицу системы .

Возможны случаи:

Условие	Характеристика системы	Взаимное расположение прямых
	Совместна и определена	Прямые пересекаются
, т.к. n=2	Совместна и не определена	Прямые совпадают
	Несовместна	Прямые параллельны (различны)

Условие параллельности прямых, заданных общими уравнениями:

(в широком смысле) (12.18).

В частности, условие совпадения прямых:

. (12.19).

Условие параллельности прямых, заданных уравнениями y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂:

k₁=k₂. (12.20).

4.2. Расстояние от точки до прямой

Пусть дана точка М₀(х₀;у₀) и прямая , где

Расстояние от точки М₀(х₀;у₀) до прямой :

(12.21)

Расстояние от начала координат О (0; 0) до прямой :

(12.22)

где р взято из нормального уравнения прямой .

4.3. Угол между прямыми

Пусть даны прямые и .

Угол между прямыми: , тогда

(12.23)

Условие перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями:

(12.24)

Условие параллельности прямых, заданных уравнениями y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂:

k₁k₂=–1 (12.25)

Пример 4. Вычислим угол А треугольника АВС, если А(1;–2), В(0;5), С(–1;3).

Решение.

Угол А – это угол между прямыми АВ и АС. Составим общие уравнения прямых:

прямая АВ: ; прямая АС: .

Вычислим угол А: 0,9717, А14^о.

Пример 5. Вычислим длину высоты АН АВС, если А(1;–2), В(0;5), С(–1;3).

Решение. Длина высоты АН – расстояние от точки А до стороны ВС.

Составим уравнение ВС: , .

Вычислим расстояние: .

4.3. Геометрический смысл знака трехчлена

Множество всех точек М, координаты которых обращают трехчлен в нуль, есть прямая, заданная общим уравнением, т.е.

l: =0.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости и (с границей). Геометрический смысл знака трехчлена состоит в том, что для всех точек одной полуплоскости, границей которой является прямая l: =0, этот знак один и тот же. Для того, чтобы установить, лежат ли точки по одну и ту же сторону от прямой или же по разные стороны от нее, достаточно подставить их координаты в трехчлен и сравнить знаки полученных результатов.

Домашнее задание. Заполнить таблицу по образцу:

Условие	Уравнение	Название уравнения
Аффинная система координат
		векторное
,		параметрические
		каноническое
		в форме определителя
		общее
		в отрезках
		прямой, проходящей через две точки
Прямоугольная система координат
		прямой, проходящей данную точку перпендикулярно данному вектору
		с угловым коэффициентом
		нормированное
		нормальное

9