2.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Дано: М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂).

Составить уравнение l / l М₁, М₂

Решение.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Возьмем в качестве данной точку М₁(х₁;у₁), а направляющего вектор .

(12.11)

Это уравнение прямой, проходящей через две точки.

2.3. Общее уравнение прямой

Раскроем определить (12.8):

.

Введем обозначения: n=A, –m=B, . Получим уравнение:

(12.12)

Следствие. Так как , то . (12.13)

Определение 2.

Уравнение называется общим уравнением прямой.

Исследование общего уравнения прямой

• Ах+Ву+С=0, где А, В одновременно не равны нулю, т.е. А²+В²¹0

Возможны следующие частные случаи:

• Один коэффициент равен нулю

• Два коэффициента равны нулю

	Коэффициенты А, В, С	Уравнение Ах+Ву+С=0	Особенность	Рисунок
1	С=0	Ах+Ву=0	Точка О (0;0) принадлежит прямой
2	А=0	Ву+С=0, т.е.	Прямая параллельна оси Ох
3	В=0
4	А=С=0	Ву=0, т.е. у=0	Ось Ох
5	В=С=0

Пример 1. Составим каноническое, параметрические, общее, нормальное уравнения прямой АВ, если А(1;–2), В(0;5).

Решение. Прямая АВ проходит через две точки, значит, . Тогда

– каноническое уравнение прямой АВ,

– параметрические уравнения прямой АВ,

, откуда – общее уравнение прямой АВ.

3. Уравнения прямой в прямоугольной декартовой системе координат

3.1. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Определение 3.

В ектор, перпендикулярный (ортогональный) прямой, называется нормальным вектором прямой или вектором нормали.

Дано: , М₀(х;у).

Составить уравнение прямой l / М₀l , l .

Решение.

Пусть М – точка произвольная прямой l. Рассмотрим векторы и . – направляющий вектор прямой, – перпендикулярный к ней вектор. Тогда  , т.е.  =0 (1),

(12.14)

Это уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Таким образом, геометрический смысл общего уравнения прямой Ах+Ву+С=0 заключается в том, что коэффициенты А,В – суть координаты векторов:

– направляющий вектор. (12.15)

– перпендикулярный вектор. (12.16)

3.2. Нормированное и нормальное уравнения прямой

Вектору соответствует единичный вектор – орт = , где , . Для того чтобы найти его координаты, достаточно нормировать его, т.е. разделить координаты вектора на его модуль (длину).

Разделим коэффициенты общего уравнения Ах+Ву+С=0 на длину вектора .

Так как , то получим уравнение или А₀х+В₀у+С₀=0. Это нормированное уравнение прямой.

Определение 4.

Нормированным уравнением прямой называется общее уравнение А₀х+В₀у+С₀=0, для которого . Множитель называется нормирующим множителем.

Определение 5.

Нормированное уравнение прямой называется нормальным, если свободный член в нем отрицателен.

(12.17)

Так как геометрический смысл координат орта вектора: = = , то для того чтобы получить из общего уравнения прямой нормальное уравнение, нужно разделить длину вектора нормали, взятую со знаком, противоположным знаку свободного члена.

Пример 2. Составим нормальное уравнения прямой АВ, если А(1;–2), В(0;5).

Решение. – общее уравнение прямой АВ (см. пример 1):

Из уравнения вектор , тогда , разделим все члены уравнения на длину вектора нормали: , откуда получим – нормированное уравнение.

Т.к. свободный член отрицателен, то это и нормальное уравнение прямой АВ.

Пример 3. Составим уравнения медианы АМ и высоты АН треугольника АВС, если А(1;–2), В(0;5), С(–1;3).

Решение.

1) Так как М – середина ВС, то координаты точки М (–0,5; 4).

Составим уравнение АМ: , т.е. .

2) Составим уравнение АН, проходящей через точку А перпендикулярно вектору (–1;–2): или .