Лекция 12. Уравнение ГМТ. Уравнения прямой в плоскости

Вопросы:

1. Уравнение множества точек. Общее уравнение. Параметрические уравнения.

2. Направляющий вектор прямой. Векторное уравнение прямой. Уравнение прямой в форме определителя.

3. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

5. Общее уравнение прямой. Исследование общего уравнения прямой.

6. Уравнение прямой в отрезках.

7. Уравнение прямой, заданной точкой и перпендикулярным (ортогональным) вектором.

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

9. Нормированное и Нормальное уравнение прямой.

10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости: условия параллельности и совпадения двух прямых. Условие перпендикулярности двух прямых.

11. Вычисление угла между двумя прямыми.

12. Вычисление расстояния от точки до прямой.

1. Уравнение множества точек

Положение точки в плоскости чаще всего описывается в декартовой прямоугольной системе координат парой чисел М(x;y).

Описание линии, в частности прямой, можно было бы строить путем описания каждой ее точки, однако это очень затруднительно ввиду того, что точек бесконечно много.

Если имеем уравнение

, (12.1)

то все точки разбиваются на два класса: 1) точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, 2) точки, координаты которых не удовлетворяют уравнению. Точки первого класса образуют множество F, а уравнение (1) называется уравнением множества точек F.

Если уравнение (1) – многочлен первого и второго порядка, например, или , то такие множества – объект изучения аналитической геометрии. Если уравнение (1) – многочлен произвольного порядка степени, большей второй, то такие множества – объект изучения алгебраической геометрии. Если уравнение (1) – любая другая функция, то такие множества – объект изучения дифференциальной геометрии.

Уравнение называется также неявным уравнением. Если уравнение (12.1) можно разрешить относительно одной координаты, например, у,

, (12.2)

где х – независимое переменное, у – зависимое, то множество называется графиком функции, а уравнение (12.2) – явным уравнением. Если обе координаты х и у задаются с помощью вспомогательного переменного – параметра t (или нескольких параметров),

(12.3)

то уравнения (12.3) называются параметрическими уравнениями множества F.

Уравнение прямой связывает между собой координаты точки, принадлежащей прямой. Из курса планиметрии известно, что через две точки плоскости можно провести единственную прямую (аксиома планиметрии). На языке алгебры это означает, что, записать уравнение прямой можно, зная координаты двух ее точек, т.е. два условия. Если же известна только одна точка прямой, то для составления уравнения требуется задать еще одно условие, например, вектор, параллельный прямой. В этом случае можно записать уравнение прямой, называемое каноническим, а также параметрические уравнения. Если кроме точки искомой прямой известен вектор, перпендикулярный прямой, то можно записать общее уравнение. Если известны отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, то можно записать так называемое уравнение «в отрезках». Если в прямоугольной системе координат известен отрезок, отсекаемый на оси ординат (начальная ордината) и угол наклона (тангенс угла наклона) прямой к оси абсцисс, получим уравнение с угловым коэффициентом. Если известен угол между перпендикуляром к прямой и осью абсцисс, расстояние от начала координат до прямой, можно записать нормальное (нормированное) уравнение. Все уравнения получаются из наглядных геометрических соображений.

2. Уравнения прямой в аффинной системе координат

2.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору

Дано: М₀(х₀;у₀), , причем .

Составить уравнение l / l М₀, l || /

Решение.

Определение 1.

Вектор, отличный от нулевого, параллельный искомой прямой, называется направляющим вектором прямой.

Точка плоскости М принадлежит прямой l, если координаты точки удовлетворяют уравнению прямой. На языке векторов это означает, что, где бы ни лежала точка М на прямой l, вектор коллинеарен вектору .

|| , или,

=t . (12.4)

Откуда

Получили векторное уравнение прямой: (12.5)

Откуда (12.6)

– параметрические уравнения прямой, где t – параметр.

Условие коллинеарности векторов: координаты , пропорциональны. Если , , то.

(12.7)

Это уравнение связывает координаты точки М₀, вектора и произвольной точки М прямой l. Оно называется каноническим уравнением прямой.

Условие коллинеарности векторов , можно записать в форме определителя, используя свойство: определитель с пропорциональными строками равен нулю, т.е.

(12.8)

Это уравнение прямой в форме определителя. Откуда

, (12.9)

Коэффициенты m и n одновременно не обращаются в нуль, т.к. . Из уравнения (12.9) вытекают следствия:

1. Если l || (1;0) , то уравнение примет вид (прямая параллельна оси Ох).

2. Если l || (0;1) , то уравнение примет вид (прямая параллельна оси Оу).

3. Если прямая не параллельная осям, тогда выразим :

, (12.10)

где – угловой коэффициент прямой в данной системе координат.