Шумы и отношение сигнал/шум в звене с фотографическим преобразованием

Для упрощения оценки отношения сигнал/шум будем считать выходным сигналом звена фотографического преобразования число неперекрытых проявленных зерен или величину, ему пропорциональную. Эта величина может быть представлена как доля светового потока, поглощенного в элементе проявленного фотографического материала. Эта доля равна

A = 1 -  = (__’/M’, (36)

где  - коэффициент пропускания, Ф₀ – световой поток, падающий на элемент проявленного материала, Ф – световой поток, прошедший через него, ’ - количество неперекрытых проявленных зерен на единицу площади, М’ – максимальное количество таких зерен, которое бы уложилось на единице площади.

Выходной сигнал фотографического звена, очевидно, равен числу проявленных фотографических зерен на элементе проявленного материала

S_ф = ’s_э = АМ’s_э, (37)

где s’_э – относительная площадь элемента.

Примем следующие допущения [156]:

1. Проявленные зерна считаются полностью непрозрачными.

2. Различие в размерах зерен не влияет на размер выходного сигнала.

3. Зерна, перекрытые другими проявленными зернами фотографического слоя, не регистрируются, и поэтому не оказывают влияния на флуктуации числа обнаруживаемых проявленных зерен. Для простоты оценки считаем зерна, перекрытые более, чем наполовину полностью перекрытыми, а меньше, чем наполовину – полностью неперекрытыми.

4. Рассеяние света от проявленных зерен мало.

Надо иметь в виду, что какие-либо из этих условий в реальных случаях могут и не соблюдаться.

Исходя из сделанных предположений, можно считать, что шум на выходе звена выразится средним квадратичным отклонением от среднего числа неперекрытых проявленных зерен, а сигнал, как уже отмечалось – средним числом этих зерен. Следовательно, величина отношения сигнал/шум, определенная для данной фотографической эмульсии при некотором заданном размере элемента, при заданной экспозиции и условиях проявления фотографического слоя, выражается соотношением

^, (38)

где ^ = _ - средняя квадратичная флуктуация числа зерен.

Рассмотрим вероятностную картину формирования проявленных зерен в результате воздействия квантов света. При достаточно большом количестве квантов света можно достичь такого результата, что все М зерен данного сканируемого участка площади s окажутся проявленными. При меньшем количестве квантов число проявленных зерен должно флуктуировать вокруг некоторой средней величины , а число непроявленных зерен – вокруг величины M- Вероятность того, что в конкретном опыте зерно окажется проявленным, составляет р = M, a того, что оно останется непроявленным - q = 1 - M. Исходя из того, что все зерна равноправны с точки зрения опыта, можно считать, что опыт состоит в М испытаниях появления для каждого зерна одного из событий: проявления либо непроявления. В соответствии со схемой Бернулли вероятность того, что появление проявленного зерна из М раз появится в  случаях, равна

P_m() = [M!/(M - )!] p^(1 – p)^M- 

В этом случае, как можно показать, среднее значение числа проявленных зерен равно Mp, а величина среднеквадратичного отклонения

_Mpq)^1/2 = [M - /M]^1/2. (40)

Из этого следует, что распределение числа проявленных зерен будет близко к распределениям Пуассона или Гаусса лишь в случае, когда <<M.

Анализируя выражение (40), можно заметить, что с увеличением (а, следовательно, и оптической плотности) шумы сначала растут, затем достигают максимума, а потом уменьшаются. Максимум шумов соответствует = ½ M. Отсюда легко видеть, что в этой точке шумы

_{ max} = ½ M^1/2. (41)

При увеличении площади сканируемого элемента происходит рост М и  пропорциональный этой площади. При данном соотношении /M

_s^1/2 = const. (42)

На рис. 3 показаны сравнительные зависимости уровня фотографического шума от величины сигнала для случая, когда зерна распределяются в соответствии с законами Пуассона или Гаусса (кривая без максимума) и для реального случая, когда имеет место биноминальное распределение (кривая с максимумом).

Рис. 3. Зависимость фотографических шумов от величины сигнала

Исходя из данных, приводимых в работе [156], можно заключить, что на практике имеет место зависимость, определяемая именно биноминальным распределением, и существует максимум фотографических шумов, соответствующих величине = ½ M.