Принципы оценки шумов на выходе нескольких преобразовательных звеньев

При оценке шумов в звене, осуществляющем преобразование сигнала и вносящем новый шум, следует принимать во внимание тот факт, что шумы представляют собой по определению флуктуации каких-либо физических величин, следовательно, они складываются геометрически. Если в преобразовательном звене выходной сигнал подчиняется распределению Пуассона или Гаусса при достаточно большом числе частиц, то шум, добавленный в звене, равен флуктуации, соответствующей этим распределения, т.е., корню квадратному из дисперсии. В общем случае на выходе звена

S_{ш вых}² = ^S_{ш вх}² + S_вых, (20)

где S_вых – дисперсия распределения преобразованного в звене сигнала, относящаяся к данному преобразованию. Пусть на вход первого звена поступают шумы с нормальным законом распределения. Считается, что шумы полностью некоррелированы. Тогда по отношению к выходу первого звена выражение (20) может быть записано как

S_ш1² = ₁²S_вх + S₁ = ___k, (21)

так как S_{ш вх}² = S_вх, а S₁ = ₁S_вх.

После прохождения k звеньев шумы изменяются таким образом, что их квадрат оценивается величиной

S²_шk= ____k____k + ___k + ... + _k + 1)S_вх . (22)

Если обозначить ____k = M_k, то многочлен в скобках выражения (22) можно записать как

_k

M_k [M_j) + 1].

^j=1

Тогда

_i

S_шi² = M_i[M_j) + 1] S_вх. (23)

^j=1

Величина отношения сигнал/шум на выходе i-го звена

_{i i}

_i = M_i S_вх/[M_i(1 + 1/M_j)^1/2S_вх^1/2] = [S_вх/(1 + 1/M_j)]^1/2 (24)

^{j=1 j=1}

Фактор _i в этом случае может быть выражен как

_{i i}

_i = {[M_i(1 + 1/M_j)]/[1 + M_i(1 + 1/M_j)]}^1/2, (25)

^{j=1 j=1}

исходя из того, что

_{i i-1}

1/M_j = 1/M_j + 1/M_i.

^{j=0 j=0}

Очевидно, что _i может изменяться в пределах 0 < _i < 1 и при этом справедливо неравенство

_вых > ___i > _k. (26)

Из выражения (2-16) следует, что минимальное падение отношения сигнал/шум при прохождении сигнала и шума через систему ( имеет место при условии, если

_i-1

M_i(1 + 1/M_j) = ____i + ___i + … + _i >> 1. (27)

^j=0

Для того, чтобы отношение сигнал/шум мало изменялось на протяжении всех k звеньев, необходимо, чтобы произведение множителей ____k = _k/_вх мало отличалось бы от единицы, т.е., выполнялось бы неравенство

__________k <  

где  - малая величина, удовлетворяющая условию 

Для соблюдения условия (2-19) необходимо, чтобы каждый знаменатель был бы значительно больше единицы. Очевидно, что в этом случае требуется, чтобы в первую очередь коэффициент усиления первого звена ₁ был бы значительно больше единицы. Несколько меньшую роль играет коэффициент усиления второго звена, и наименее значительную роль играет в данной ситуации последнее звено.