Задачи на теоремы Лапласа (Муавра-Лапласа), Пуассона
В жилом доме имеется 6400 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между 3120 и 3200. Найти наивероятнейшее число включенных ламп и его соответствующую вероятность.
Ответ:
.
Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна 0,024. Найти вероятность, что за смену откажут 6 элементов.
Ответ: 0,000083.
Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.
Ответ: 0,2952.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени T равна 0,002. Найти вероятность того, что за время T откажут ровно три элемента.
Ответ: 0,18.
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.
Ответ: 0,68.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
Ответ: 0,5678.
Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.
Ответ: 0,0032.
В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:
B – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;
С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20.
Ответ:
.
Дискретная случайная величина
Составьте ряд распределения числа появлений события A в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6. Постройте полигон вероятностей. Получите функцию распределения и постройте ее график.
Ответ:
0
1
2
3
0,064
0,288
0,432
0,216
Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.
Ответ: 2.
Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:
|
1 |
2 |
123456789 |
|
0,5 |
1 |
|
0,2 |
0,8 |
|
|
0,3 |
0,7 |
Найти математическое ожидание произведения XY двумя способами:
а) составив закон распределения XY;
б) пользуясь свойством
.
Ответ: 1,53.
Дискретные случайные величины заданы законами распределения:
|
1 |
2 |
123456789 |
|
0,5 |
1 |
|
0,2 |
0,8 |
|
|
0,3 |
0,7 |
Найти математическое ожидание суммы X+Y двумя способами: а) составив закон распределения Х+Y; б) пользуясь свойством M(X+Y).
Ответ: 2.65.
Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распределения:
|
0,1 |
2 |
10 |
20 |
|
0,4 |
0,2 |
0,15 |
0,25 |
Ответ: 67,6404.
Случайная величина может принимать два возможных значения:
с вероятностью 0,3 и
с вероятностью 0,7, причем
.
Найти
и
,
зная, что MX = 2,7 и DX = 0,21.
Ответ:
.
Куб со всеми окрашенными гранями разрезан на 27 равных кубиков. Наугад выбирается один кубик. Составьте ряд распределения и функцию распределения числа окрашенных граней выбранного кубика.
Ответ:
0
1
2
3
В обойме карабина 5 патронов. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Стрельба ведется до первого попадания. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа промахов.
Ответ:
.
Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в партии из 2500 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,015.