Лабораторная работа № 3 измерение полных сопротивлений

1. Цель работы

Целью работы является изучение понятия полного нормированного волнового сопротивления устройств СВЧ и получение практических навыков его измерения в прямоугольном волноводе.

2. Основные понятия

К расчету и конструированию устройств СВЧ в настоящее время существует два подхода. Один из них основан на решении уравнений Максвелла (или волнового уравнения) для определенной конфигурации разрабатываемого устройства. Данный подход позволяет в принципе рассчитывать характеристики СВЧ устройств не проводя их макетирования и экспериментального исследования. Результатом такого расчета в общем случае являются структура электромагнитного поля (векторные функции ) в устройстве и матрица рассеяния устройства ( -матрица ), связывающая комплексные амплитуды падающих и отраженных волн на входах и выходах устройства.

Эффективные расчеты с высокой точностью возможны лишь для достаточно простых устройств. Ограничения в данном подходе связаны с математической сложностью задач такого типа и неизбежными упрощениями в их постановке, а так же ограниченными ресурсами ЭВМ ( недостаточные разрядность и быстродействие ) и допусками на точность изготовления устройства. Указанные причины не позволяют в настоящее время при разработке многих устройств СВЧ исключить стадию макетирования и настройки.

Другой подход к конструированию СВЧ устройств основан на составлении и анализе эквивалентных схем. Отдельные элементы устройства представляются в виде эквивалентных комплексных сопротивлений ( проводимостей ) или их комбинаций, а устройство в целом представляется некоторой эквивалентной схемой. Анализ СВЧ устройства, прежде всего его частотных характеристик, сводится к анализу эквивалентной схемы. Трудности в данном подходе с связаны неочевидностью и неоднозначностью представления элементов и всего устройства той или иной эквивалентной схемой и необходимостью, как правило, экспериментально определять значения отдельных элементов, особенно для волноводных устройств.

Понятие волнового сопротивления длинной линии

становится неопределенным для волновода, поскольку неопределенными становятся понятия напряжения , тока , погонных индуктивности и емкости в волноводе. Волновое сопротивление волноводных устройств можно ввести двумя путями :

а) через поперечные к направлению распространения компоненты электромагнитного поля (так называемое характеристическое сопротивление) ;

б) через определенные некоторым образом эквивалентные значения напряжения и тока (так называемое эквивалентное волновое сопротивление) .

Рассмотрим понятие характеристического сопротивления плоской однородной волны TEM с компонентами или в декартовых координатах . Характеристическое сопротивление определяется относительной диэлектрической проницаемостью и относительной магнитной проницаемостью среды

(1) и совпадает с характеристическим сопротивлением коаксиальной линии с тем же магнито-диэлектрическим заполнением. Здесь цилиндрические координаты поперечного сечения коаксиальной линии. Характеристическое сопротивление в металлических волноводах зависит от частоты ( длины волны) и параметров волновода и определяется как

(2)

для Н-волн и

(3) для Е-волн, где: ; - координаты поперечного сечения прямоугольного и круглого волноводов соответственно ; - длина волны в безграничной среде с параметрами ; - длина волны в волноводе, заполненном диэлектриком с параметрами ; - критическая длина волны пустого волновода.

Приведенные определения характеристического сопротивления (2), (3) показывают их независимость от конфигурации поперечного сечения. В частности, в выражениях (2), (3) отсутствует зависимость от размера узкой стенки прямоугольного волновода с волной ( т.к. в этом случае зависит только от размера широкой стенки ). Характеристическое сопротивление коаксиального волновода не зависит от соотношений диаметров внутреннего и внешнего проводников.

Из теории длинных линий известно, для того чтобы в линии отсутствовала отраженная волна сопротивление нагрузки должно быть равно волновому сопротивлению линии. Такая нагрузка, как известно, называется согласованной. Вопрос о согласовании волноводных линий с нагрузкой оказывается значительно сложнее. Опыт показывает, что любое нарушение регулярности волновода (изменение размеров, формы поперечного сечения и др. ) приводит к появлению отраженной волны и в случае постоянства характеристического сопротивления по длине линии. Устройства СВЧ создаются на основе различных линий передач, в которых для реализации функций устройства приходится вводить элементы, нарушающие регулярность линии и вызывающие отражение.

При конструировании устройств СВЧ желательно иметь приближенный математический аппарат, пригодный для описания волноводных систем различного поперечного сечения. Это достигается построением для волноводов эквивалентной длинной линии и использованием в расчетах теории длинных линий. Теория длинных линий оперирует, как известно, с токами и напряжениями , поэтому необходимо определить эти понятия применительно к волноводу. Естественным является требование, чтобы мощность падающей волны, определяемая через вектор Пойнтинга, выражалась и через введенные ток и напряжения обычным образом

(4)

где - векторы комплексных амплитуд напряженности электрического и магнитного полей падающей волны; - векторный элемент площади поперечного сечения передающей линии ; , - комплексные амплитуды напряжения и тока падающей волны в линии ; - знак комплексного сопряжения.

Мощность отраженной волны описывается тем же выражением (4) с заменой индексов " " на " " . Следует отметить, что для открытых волноводов поперечное сечение не ограничено и интеграл в (4) становится несобственным. Напряженность поля направляемых волн в поперечном сечении открытого волновода быстро убывает при удалении от его оси, что обеспечивает сходимость интеграла, т.е. конечное значение передаваемой мощности.

Нормированные напряжения падающей и отраженной волн вводятся формулами

, (5)

где , -комплексные амплитуды напряжений падающей и отраженной волн; -постоянная распространения волны в линии; -начальные фазы падающей и отраженной волн; - координата вдоль линии от плоскости включения нагрузки в сторону генератора. Размерность введенных напряжений . Фазы напряжений совпадают с фазами поперечных компонент напряженности электрического поля падающей и отраженной волн. Проходящая через поперечное сечение волновода активная мощность определяется разностью мощностей падающей и отраженной волн

(6) где - полные напряжение и ток в линии.

Коэффициент отражения по напряжению вводится аналогично коэффициенту отражения для напряженности поля

(7) где - фаза коэффициента отражения в плоскости . Можно показать, что коэффициент отражения по напряжению совпадает числено с коэффициентом отражения по напряженности электрического поля в случае одноволнового режима в линии.

Выражение (6) с учетом (7) можно записать в виде

или, после перегруппировки

(8) Сравнивая (6) с выражением (8) видим, что можно сопоставить с полным нормированным напряжением , а с полным нормированным током , т.е.

, (9) Отношение полного нормированного напряжения к полному нормированному току называется полным нормированным сопротивлением устройства (нагрузки)

. (10) Полная нормированная проводимость определяется как

, (11) где - фаза коэффициента отражения в плоскости . После элементарных преобразований получим

, , (12)

, . . Отметим, что полное нормированное сопротивление (проводимость) является безразмерным, т.к. размерность и одинакова. При получаем: .

Таким образом, смысл введенных понятий в том, что волновые сопротивления различных нагрузок и СВЧ - устройств нормируются к волновому сопротивлению регулярного волновода, в который они включаются. Нормированное сопротивление основного волновода оказывается при таком определении единичным.

Нормированные сопротивления нагрузок принято измерять в плоскости их входных фланцев (разъемов), а за положительное направление оси принимается направление распространения отраженной волны (от нагрузки к генератору), т.е. противоположное принятому при теоретическом анализе волноводов. Характер реактивности нагрузки (индуктивный или емкостный) зависит от ее конструкции, частоты и места включения ( расстояния между плоскостью включения нагрузки и плоскостью измерения ) и определяется, как обычно, знаком мнимой части (или аргумента) . Полное нормированное сопротивление (10) является периодической функцией координаты с периодом . Измерить полное сопротивление нагрузки непосредственно в плоскости ее входных фланцев обычно технически сложно или невозможно, однако используя периодичность функции , можно отнести плоскость измерения на целое число полуволн от нагрузки в сторону генератора. Эта процедура называется нахождением условного конца измерительной линии и состоит в коротком замыкании выхода измерительной линии (т.е. присоединении нагрузки с в плоскости ее входного фланца) для нахождения одного из узлов напряжения в начале шкалы перемещений измерительной линии. За условный конец линии примем отсчет в начале шкалы перемещения измерительной линии, где находится минимум (узел) напряжения при коротком замыкании. Из условия в плоскости короткого замыкания получим из (10) . Фаза коэффициента отражения в произвольном сечении линии будет: , а в плоскости условного конца линии ее главное значение будет . Фаза коэффициента отражения произвольной измеряемой нагрузки в плоскости не может быть непосредственно измерена с помощью измерительной линии. Она определяется как по смещению положения минимума напряжения при подключении измеряемой нагрузки. Здесь , -отсчет положения ближайшего от в сторону генератора минимума напряжения при включенной измеряемой нагрузке. Выражения (12) окончательно примут вид:

, , (13)

, .

Выражения (13) дают сопротивление нагрузки в плоскости ее входных фланцев. При включении нагрузки через отрезок линии длиной ее полное нормированное сопротивление (10) в плоскости входного фланца отрезка линии изменится и примет вид:

. В частности, при включении нагрузки через отрезок линии ее полное нормированное сопротивление трансформируется в проводимость, а проводимость в сопротивление:

(14)

Таким образом, при смещении плоскости измерения на характер реактивности нагрузки изменяется на противоположный. На этом свойстве основано устройство четвертьволнового трансформатора сопротивлений. Четвертьволновый отрезок линии преобразует сопротивление в проводимость и наоборот.