Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1
.pdf§
12]
ПРОИЗВОДНЫЕ
СТЕПЕННОЙ
ФУНl(ЦИИ
83
Укажем, функции, не
далее, |
правило |
преобразовывая |
нахождения |
производной |
неявной |
||
|
||||
ее в явную, |
т. е. |
не |
представляя |
в |
виде у= f (х). |
|
|
Допустим, |
что |
Если здесь у |
есть |
функция функция
задана уравнением |
x |
+!f-a |
11 |
=0. |
|
|
11 |
|
|
|
|
от х, определяемая |
этим |
|
|
, |
|
равенством |
то
|
. |
это равенство есть тождество |
|
Дифференцируя обе части |
этого |
тождества
по
х,
считая,
что
у
есть функция от х, получим |
(пользуясь |
|||
вания |
сложной |
функции) |
2х+2уу'=0, |
правилом дифференциро
откуда у'=-х/у.
Заметим,
что
если
бы
мы
стали
дифференцировать
соответст-
вующую
явную
функцию
у=
Va
11
-x2,
то
получили
бы
у'=
-
х ~
х =-и•
т.
е-.
тот
же
результат.
|
Рассr,1:отрим еще |
один пример неявной |
функции g от |
||
-у-х2 =0. Дифференцируем по х: |
6у |
у'-у'-2х=0, |
|||
|
|
|
|
5 |
|
|
, |
2х |
|
|
|
у |
= |
6y•-l • |
|
|
|
|
3 |
а меч ан и е 2. |
Из приведенных |
примеров следует, |
|
нахождения значения производной неявной функции при |
х: у• - откуда
что для данном
значении
аргумента
х
нужно
знать
и
значение
функции
у
при
данном
значении
х.
§ 12. |
Производные |
степенной |
функции |
|||
при любом действительном |
показателе, |
|||||
|
|
|||||
показательной |
функции, |
сложной |
показатеJIЬной |
|||
|
|
|
функции
Теорема |
1. |
Производная |
от |
функции |
хп, |
|||
действительное |
число, |
равна |
|
1 |
, |
т. е. |
|
|
пхп- |
|
|||||||
|
|
если |
У= xn, |
|
то |
|
у'= nxn-I. |
|
где |
п-любое |
|
(1') |
До к аз
ат ель ст в о. |
Пусть |
х
>
О.
Логарифмируя
данную
функцию,
будем иметь
ln
у=
п
ln
х.
|
Дифференцируем |
тая |
у функцией от |
обе |
части |
полученного |
равенства |
по |
||
, |
1 |
|
1 |
|
Подставляя |
|
х: ..JL= п-, |
у'= уп-. |
|||||
у |
х |
|
х |
|
|
|
х,
счи- сюда
значение
y=xn,
окончательно
получаем
у'
=пхn-
1
•
Легко
показать,
что |
эта формула |
верна и для х |
< О, |
|||
|
Теор ем |
а |
2. |
Производная |
от |
|
ах lna, т. е. |
|
|
если у= ах, |
|
то |
|
|
|
|
|
|
если только xn |
имеет смысл*). |
|
функции ах, |
где а > О, |
равна |
у'= ах ln а. |
|
(XIV) |
Д о
чим ln
к аз а т
у= х ln
ель ст в о. Логарифмируя равенство у= ах, полу
а. Дифференцируем полученное равенство, считая у
функцией
от
х:
.!.. у
у'
=
ln
а,
у'=
у
ln
а
или
у'
=
ах
ln
а.
|
*) |
Эта формула была |
ранее |
доказана |
(§ 5) |
для |
||
целым |
по.110:нсите.11ьным числом. |
Теnерь |
формула |
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для |
любого постоянного |
числа |
п). |
|
|
|
|
случая, когда п является
доказана в общем случае
§
13)
ОБРАТНАЯ:
ФУНIЩИЯ:
И
ЕЕ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
85
лог ар и ф м а дан дифференцировании
н ой |
фу |
н к ц и и, широко применяется |
при |
||
|
|||||
функций. |
Применение |
этого приема |
нередко |
значительно
упрощает
вычисления.
П
р
и
м ер
4.
Требуется
найти |
производную |
|
(х+1) |
2 |
vх-Т |
||
У |
(х+4) |
3 |
ех |
||
|
|
|
|
|
от
функции
Реше
ни
е.
Логарифмируя,
находим
lny=2
ln(x+l)+
1 2
ln(x-1)-31n(x+4)-x.
Дифференцируем
обе части
у'_ 2 у-х+
последнего |
||
+ |
1 |
|
1 |
2 |
(х-1) |
равенства:
3 |
l |
х+4 |
• |
Умножая на |
у |
и подставляя |
(x+l)2Vx-l |
вместо у, получаем |
||||||||
|
(х+ |
4 |
)3 ех |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у' |
(x+1) |
Vx-l [-2- |
1 |
_з__ 1] |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
3 |
ех |
х+1+2(х-1) |
х+4 |
• |
|||
|
|
|
(х+4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
амеч |
а ние. Выражение |
|
у' = (ln у)'. |
являющееся |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
ной |
по х от |
натурального |
логарифма данной функции |
|||||||||
называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
логарифмической производной |
|
|
производ у=у (х),
§
13.
Обратная
функция
и
ее
дифференцирование
Пусть
дана
возрастающая (рис. 66) y=f(x),
или
убывающая
функция. (1)
определенная |
на некотором интервале |
(а, Ь) |
(а< Ь) |
|||
Пусть f (а)= |
с, |
f (Ь) = d. Для |
определенности |
будем |
||
рассматривать |
возрастающую |
функ- |
|
|
J/ |
|
|
|
|
|
|
|
(см. § 6 гл. 1). в дальнейшем
цию.
Рассмотрим
два
различных
значе
ния
х
1
и
х
2
,
принадлежащих
интер
валу щей
< Х11
< у2
(а, Ь). Из определения |
возрастаю |
||
функции следует, что |
если |
х1 |
< |
И Y1=f(X1), Y2=f (х2), то |
У1 |
< |
|
• Следовательно, двум различным |
значениям различных
Xi и х2 соответствуют |
два |
|||
|
и |
|||
значения |
функции |
у1 |
Рис.
66.
у |
2 |
• Справедливо |
и |
обратное, |
т. |
||||
если У1 < |
У2, |
У1 |
= f (х1), |
а |
у2 |
= |
|||
растающей |
функции |
следует, |
что |
е. |
|
|
f (х2), |
||
х |
1 |
< |
|
|
то |
из определения воз |
||
х |
• |
Таким образом, между |
|
2 |
|
|
|
значениями
х
и
соответствующими
им
значениями
у
устанавли
вается
взаимно
однозначное
соответствие.
88
ПРОИЗВОДНАЯ:
И
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[ГЛ.
111
Так
как
функция
(J)
(у)
непрерывна,
то
Лх-0
при
Лу
-
О.
Пе
реходя к
пределу
при
Лу-0
в
обеих
частях
равенства
(3),
получим
, |
1 |
Ух=-, |
|
|
Ху |
ИЛИ
f'
(Х)
|
1 |
=-,-()' |
|
lj) |
у |
т.